Question

Сума двох натуральних чисел дорівнює 6, а сума взаємно обернених з ними чисел дорівнює 3/4(дріб). Знайдіть ці числа.

Answer 1

Ответ:

2 і 4

Пошаговое объяснение:

Нехай перше число це х, тоді друге це 6-х

Маємо рівнняння:

1/х+1/(6-х)=3/4

(6-х+х)/(6х-х²)=3/4

6*4/3=6х-х²

х²-6х+8=0

(Приведемо до вигляду (х-у)² = х²-2ху+у²)

х²-6х+9=1

(х-3)²=1

х-3=1

х=4 перше число

6-4=2 - інше число

перевірка: 4+2=6  1/4+1/2=1/4 + 2/4 = 3/4

Answer 2

Позначимо два натуральних числа як x та y. За умовою задачі, ми маємо наступну систему рівнянь:

1. x + y = 6 (сума двох натуральних чисел дорівнює 6)
2. 1/x + 1/y = 3/4 (сума взаємно обернених з ними чисел дорівнює 3/4)

Для спрощення другого рівняння, помножимо обидві його сторони на $4xy$ (спільний знаменник), отримаємо:

$4y + 4x = 3xy$

Тепер додамо це рівняння до першого рівняння, щоб отримати вираз для $x+y$:

$x + y + 4x + 4y = 6 + 3xy$

$5x + 5y = 6 + 3xy$

Зведемо до одного члена:

$5x + 5y - 3xy = 6$

Тепер можемо факторизувати ліву частину:

$x(5 - 3y) + 5y = 6$

З останнього рівняння бачимо, що $x$ є спільним множником лівої частини. Тому $x$ повинно ділити $6$. Оскільки $x$ - натуральне число, можливі значення $x$ - це $1, 2, 3$ або $6$.

1. Якщо $x = 1$:

   $1(5 - 3y) + 5y = 6$

   $5 - 3y + 5y = 6$

   $5 \neq 6$ - рівняння не має розв'язків при $x = 1$.

2. Якщо $x = 2$:

   $2(5 - 3y) + 5y = 6$

   $10 - 6y + 5y = 6$

   $10 - y = 6$

   $y = 4$

   Отже, $x = 2$ і $y = 4$.

3. Якщо $x = 3$:

   $3(5 - 3y) + 5y = 6$

   $15 - 9y + 5y = 6$

   $15 - 4y = 6$

   $4y = 9$

   Знову, в цьому випадку отримуємо нецілочисельне значення $y$, тому $x = 3$ не підходить.

4. Якщо $x = 6$:

   $6(5 - 3y) + 5y = 6$

   $30 - 18y + 5y = 6$

   $30 - 13y = 6$

   $13y = 24$

   $y = 24/13$

   Знову отримуємо нецілочисельне значення $y$, тому $x = 6$ не підходить також.

Отже, є лише один допустимий набір чисел, який задовольняє умовам задачі: $x = 2$ і $y = 4$.