Question

Решите уравнения и неравенства используя разложение многочленов на множители. х³+2х²-х-2=0 ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

${x}^{3} + 2 {x}^{2} - x - 2 = 0 \\ {x}^{2} (x + 2) - (x + 2) = 0 \\ ( {x}^{2} - 1)(x + 2) = 0 \\ (x - 1)(x + 1)(x + 2) = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ x = - 2$

Answer 2

Для решения уравнения $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$ используем метод разложения многочленов на множители. Для начала, давайте попробуем найти рациональные корни этого уравнения. Рациональный корень $r$ будет удовлетворять условию, что $r$ является делителем свободного члена многочлена (в данном случае это -2), а также делителем коэффициента при старшей степени $x$ (в данном случае это 1).

Подставим различные значения $r$ (включая отрицательные и положительные числа) и проверим, является ли результат равным нулю:

1. $r = 1$: Подставим $x = 1$ в уравнение: $1^3 + 2 \cdot 1^2 - 1 - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0$. $x = 1$ является рациональным корнем.

Теперь у нас есть рациональный корень $x = 1$. Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3 + 2x^2 - x - 2$ на $(x - 1)$. Это можно сделать с помощью деления с остатком:

markdownCopy code
   x^2 + 3x + 2
__________________

x - 1 | x^3 + 2x^2 - x - 2 - (x^3 - x^2) ______________ 3x^2 - x - (3x^2 - 3x) ____________ 2x - 2 - (2x - 2) __________ 0

Таким образом, многочлен $x^3 + 2x^2 - x - 2$ можно разложить на множители в виде $(x - 1)(x^2 + 3x + 2)$.

Теперь уравнение $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$ сводится к уравнению $x^2 + 3x + 2 = 0$. Давайте решим это квадратное уравнение:

$x^2 + 3x + 2 = 0$

Для решения квадратного уравнения можно использовать метод факторизации или квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ можно решить с помощью квадратного корня:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В нашем случае $a = 1$, $b = 3$ и $c = 2$, поэтому:

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

$x = \frac{-3 \pm 1}{2}$

Таким образом, получаем два решения:

1. $x = \frac{-3 + 1}{2} = -1$
2. $x = \frac{-3 - 1}{2} = -2$

Итак, решения уравнения $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$ равны $x = 1$, $x = -1$ и $x = -2$.