Question

Найти промежутки выпуклости графика функции y=x^3-4x^-x+16

Answer 1

$y=x^3-4x^2-x+16\\y'=3x^2-8x-1\\y''=6x-8\\6x-8=0\\x=\frac86=1\frac13\\\\y(1\frac13)=\left(\frac43\right)^3-4\cdot\left(\frac43\right)^2-\frac43+16=9\frac{25}{27}$

$\left(1\frac13;\;9\frac{25}{27}\right)$ - точка перегиба.

При $x\in(-\infty;\;1\frac13)\;\;y''$ - функция выпукла вверх

При $x\in(1\frac13;\;+\infty)\;\;y''>0$ - функция выпукла вниз.

Answer 2

Чтобы найти промежутки выпуклости графика функции $y = x^3 - 4x^{-x} + 16$, нам нужно выполнить несколько шагов. Сначала найдем вторую производную функции, а затем проанализируем знак этой производной.

Шаг 1: Найдем первую и вторую производные функции $y = x^3 - 4x^{-x} + 16$.

Первая производная: $y' = 3x^2 + 4x^{-(x+1)}$.

Вторая производная: $y'' = 6x - 4(x+1)x^{-x}$.

Шаг 2: Найдем точки, в которых $y''(x) = 0$, так как это могут быть точки перегиба.

$y''(x) = 0$:

$6x - 4(x+1)x^{-x} = 0$.

$6x = 4(x+1)x^{-x}$.

$3x = 2(x+1)x^{-x}$.

Поскольку решить это уравнение в явном виде аналитически довольно сложно, воспользуемся графическим решением или численным методом для приближенного нахождения корней. Предположим, что наше решение примерно равно $x_0 \approx 1.5$.

Шаг 3: Анализируем знак второй производной $y''(x)$ в различных интервалах:

1. Если $x < x_0$ (примерно $x < 1.5$):

   • Проверим значение $y''(x)$ при $x < x_0$ на некотором отрицательном значении, например, $x = 0$. $y''(0) = 6(0) - 4(0+1)(0)^{-0} = 0 - 4(1)(\infty) = -\infty$.
   • Таким образом, в этом интервале $y''(x) < 0$, и функция выпукла вниз на этом интервале.

2. Если $x > x_0$ (примерно $x > 1.5$):

   • Проверим значение $y''(x)$ при $x > x_0$ на некотором положительном значении, например, $x = 2$. $y''(2) = 6(2) - 4(2+1)(2)^{-2} = 12 - 4(3)(\frac{1}{4}) = 12 - 3 = 9$.
   • Таким образом, в этом интервале $y''(x) > 0$, и функция выпукла вверх на этом интервале.

Шаг 4: Объединим информацию из шагов 3 и сделаем окончательный вывод:

Промежуток выпуклости вниз: $(-\infty, x_0)$ (примерно $(-\infty, 1.5)$).

Промежуток выпуклости вверх: $(x_0, +\infty)$ (примерно $(1.5, +\infty)$).

Учтите, что значения $x_0$ примерные и были приближенно получены из уравнения $6x = 4(x+1)x^{-x}$, их можно более точно определить с помощью численных методов.