Question

для прямоугольного треугольника доказать, что a)sin2a=2ab/c^2 b)cos2a=b^2-a^2/c^2 ,где a,b,c - стороны треугольника

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: смотри фото

Answer 2

Для доказательства данных утверждений, мы должны воспользоваться тригонометрическими соотношениями для прямоугольных треугольников.

В данном контексте, предположим, что стороны треугольника обозначаются как:

a - длина катета противолежащего угла a; b - длина катета прилежащего угла a; c - длина гипотенузы треугольника.

Теперь рассмотрим утверждения по очереди:

a) Доказательство sin(2a) = 2ab / c^2:

Угол 2a можно представить как сумму углов a и a:

2a = a + a.

Теперь используем тригонометрическую формулу для синуса суммы углов:

sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b).

Подставим a = a и b = a в формулу:

sin(2a) = sin(a + a) = sin(a) * cos(a) + cos(a) * sin(a).

Мы знаем, что sin(a) = a / c и cos(a) = b / c (по определению синуса и косинуса в прямоугольных треугольниках).

Подставим значения sin(a) и cos(a) в уравнение:

sin(2a) = (a / c) * (b / c) + (b / c) * (a / c).

sin(2a) = (ab + ab) / c^2.

sin(2a) = 2ab / c^2.

b) Доказательство cos(2a) = (b^2 - a^2) / c^2:

Теперь рассмотрим тригонометрическую формулу для косинуса суммы углов:

cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b).

Подставим a = a и b = a в формулу:

cos(2a) = cos(a + a) = cos(a) * cos(a) - sin(a) * sin(a).

Мы уже знаем значения sin(a) и cos(a) из предыдущего доказательства:

sin(a) = a / c и cos(a) = b / c.

Подставим значения sin(a) и cos(a) в уравнение:

cos(2a) = (b / c) * (b / c) - (a / c) * (a / c).

cos(2a) = (b^2 / c^2) - (a^2 / c^2).

Теперь объединим дроби:

cos(2a) = (b^2 - a^2) / c^2.

Таким образом, утверждения a) и b) доказаны.