Question

Укажите геометрический смысл определенного интеграла

Answer 1

Определённый интеграл $\int\limits_a^bf(x)dx$ представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x).

Answer 2

Геометрический смысл определенного интеграла связан с площадью под кривой функции на определенном интервале. Когда мы интегрируем функцию на определенном промежутке [a, b], результатом является число, которое представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции, осью x и вертикальными прямыми x = a и x = b.

Для функции f(x), определенной на интервале [a, b], определенный интеграл от a до b записывается как:

∫[a to b] f(x) dx

Это выражение говорит о том, что мы интегрируем функцию f(x) от a до b по переменной x.

Графически геометрический смысл определенного интеграла можно представить таким образом:

1. Если f(x) положительна на всем интервале [a, b], то определенный интеграл ∫[a to b] f(x) dx представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x), осью x, и вертикальными прямыми x = a и x = b.

2. Если f(x) отрицательна на всем интервале [a, b], то определенный интеграл ∫[a to b] f(x) dx представляет собой отрицательное значение модуля площади фигуры под кривой. Это означает, что фигура будет ниже оси x.

3. Если f(x) меняет знак на интервале [a, b], то определенный интеграл представляет собой разность между положительной и отрицательной площадью фигур на этом интервале.

Интегрирование функции позволяет найти точное значение площади под кривой, что может быть полезно в различных научных, инженерных и экономических приложениях. Таким образом, геометрический смысл определенного интеграла помогает понять, как аналитические методы могут использоваться для решения геометрических задач.