Question

объясните почему наименьшее общее кратное чисел не может быть меньше любого из этих чисел делится на все делители этих чисел

Answer 1

1. По определению НОК. НОК - минимальное из чисел, которое делится на оба исходных нацело. Минимальное возможное число, которое нацело делится на заданное равно самому этому числу. Соответственно для большего числа из пары это так же справедливо, т.о. условие из вопроса выполняется автоматически и для меньшего.

2. Если число делится на какое-то другое число, то оно автоматически делится и на все его делители, т.к. представляет собой произведение всех этих делителей на некий множитель, который в данном случае роли не играет.

Answer 2

Наименьшее общее кратное (НОК) двух или более чисел представляет собой наименьшее положительное число, которое делится на все эти числа без остатка. Другими словами, это наименьшее число, которое является общим кратным для данных чисел.

Предположим, у нас есть два числа: a и b. Их НОК обозначается как НОК(a, b).

Теперь допустим, что НОК(a, b) меньше обоих чисел a и b. То есть:

НОК(a, b) < a и НОК(a, b) < b

Если такое утверждение верно, тогда:

НОК(a, b) делится на a и НОК(a, b) делится на b без остатка.

Но согласно определению НОК, оно должно быть общим кратным для a и b, поэтому оно обязано делиться на a и b без остатка.

Теперь возьмем один из делителей числа a, обозначим его как d. Также допустим, что d является делителем числа b. То есть:

a делится на d без остатка и b делится на d без остатка.

Таким образом, НОК(a, b) также должно делиться на d без остатка, так как оно является общим кратным для a и b.

Но у нас есть два утверждения:

1. НОК(a, b) < a и НОК(a, b) < b
2. НОК(a, b) делится на a и НОК(a, b) делится на b без остатка.

Эти утверждения противоречат друг другу. Если НОК(a, b) меньше a и b, то оно не может одновременно делиться на них без остатка. Таким образом, НОК(a, b) не может быть меньше любого из чисел a и b.

Вывод: НОК(a, b) всегда больше или равно любому из чисел a и b.