Question

При яких значеннях параметра а добуток коренів рівняння х2+(а-1)х+а2+3а=0 дорівнює 4?​

Answer 1

$x^2+(a-1)x+a^2+3a=0\\D=(a-1)^2+4\cdot(a^2+3a)=a^2-2a+1+4a^2+12a=5a^2+10a+1\\\\x_1=\frac{-(a-1)-\sqrt{5a^2+10a+1}}2=\frac{1-a-\sqrt{5a^2+10a+1}}2\\\\x_2=\frac{-(a-1)+\sqrt{5a^2+10a+1}}2=\frac{1-a+\sqrt{5a^2+10a+1}}2\\x_1+x_2=4\\\\\frac{1-a-\sqrt{5a^2+10a+1}}2+\frac{1-a+\sqrt{5a^2+10a+1}}2=4\\1-a-\sqrt{5a^2+10a+1}+1-a+\sqrt{5a^2+10a+1}=8\\2-2a=8\\-2a=6\\a=-3$

Answer 2

Для знаходження значень параметра а, при яких добуток коренів рівняння дорівнює 4, спочатку знайдемо корені цього рівняння. Загальний вигляд квадратного рівняння ax^2 + bx + c = 0.

У нашому випадку a = 1, b = (а-1), c = а^2 + 3а. Підставимо ці значення в квадратне рівняння:

x^2 + (а-1)x + а^2 + 3а = 0

Корені квадратного рівняння можна знайти за допомогою формули дискримінанту:

Дискримінант (D) = b^2 - 4ac

Корені (x1, x2) рівняння:

x1,2 = (-b ± √D) / 2a

Тепер, для знаходження значень параметра а, при яких добуток коренів дорівнює 4, маємо:

x1 * x2 = (а - 1) * (а^2 + 3а) = 4

Тобто:

а^3 + 2а^2 - а - 4 = 0

Тепер спростимо це рівняння і знайдемо значення а:

а^3 + 2а^2 - а - 4 = (а - 1)(а^2 + 3а + 4) = 0

Рівняння а^2 + 3а + 4 = 0 не має розв'язків в дійсних числах, оскільки дискримінант D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * 4 = 9 - 16 = -7, а від'ємний дискримінант свідчить про те, що рівняння не має дійсних коренів.

Отже, немає таких значень параметра а, при яких добуток коренів рівняння х^2 + (а-1)x + а^2 + 3а = 0 дорівнює 4.