Question

Решите уравнение 6cos^2 2x+22sin^2x-7=0

Answer 1

6cos²2x + 22sin²x - 7 = 0

6cos²2x - 11•(1 - 2sin²x) + 4 = 0

cos2x = 1 - 2sin²x

6cos²2x - 11cos2x + 4 = 0

Пусть cos2x = a, a ∈ [ - 1 ; 1 ], тогда

6а² - 11а + 4 = 0

D = (-11)² - 4•6•4 = 121 - 96 = 25 = 5²

a₁ = (11 - 5)/12 = 6/12 = 1/2

a₂ = (11 + 5)/12 = 16/12 = 4/3 > 1 - не подходит

cos2x = 1/2

2x = ± π/3 + 2πn

x = ± π/6 + πn, n ∈ Z

ОТВЕТ: ± π/6 + πn, n ∈ Z

Answer 2

Для решения уравнения 6cos^2(2x) + 22sin^2(x) - 7 = 0, мы будем использовать тригонометрические тождества, чтобы выразить все выражения в терминах одной функции (например, sin(x) или cos(x)) и затем решим уравнение относительно этой функции.

Начнем с использования тригонометрических тождеств:

1. cos^2(2x) = (cos(2x))^2 = (2cos^2(x) - 1)^2 = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1
2. sin^2(x) = (1 - cos^2(x))

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

6cos^2(2x) + 22sin^2(x) - 7 = 0 6(4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1) + 22(1 - cos^2(x)) - 7 = 0

Раскроем скобки:

24cos^4(x) - 24cos^2(x) + 6 + 22 - 22cos^2(x) - 7 = 0

Упростим:

24cos^4(x) - 46cos^2(x) + 21 = 0

Теперь представим это уравнение как квадратное уравнение относительно переменной cos^2(x):

Пусть z = cos^2(x), тогда уравнение примет вид:

24z^2 - 46z + 21 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

Для решения квадратного уравнения вида az^2 + bz + c = 0, используем формулу дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

Если D > 0, то у уравнения два действительных корня. Если D = 0, то у уравнения один действительный корень (корень кратности 2). Если D < 0, то у уравнения нет действительных корней.

В нашем случае: a = 24, b = -46, c = 21

D = (-46)^2 - 4 * 24 * 21 D = 2116 - 2016 D = 100

Так как D > 0, у нас есть два действительных корня для z (cos^2(x)).

Теперь найдем корни z:

z1 = (-b + √D) / (2a) z1 = (46 + √100) / 48 z1 = (46 + 10) / 48 z1 = 56 / 48 z1 = 7 / 6

z2 = (-b - √D) / (2a) z2 = (46 - √100) / 48 z2 = (46 - 10) / 48 z2 = 36 / 48 z2 = 3 / 4

Теперь, чтобы найти cos(x), возьмем квадратный корень из каждого корня z:

cos(x) = ±√(z1) = ±√(7/6) cos(x) = ±(√7 / √6) cos(x) = ±(√7 / √6) * (√6 / √6) cos(x) = ±√42 / 6

Таким образом, мы получили два значения cos(x):

cos(x) = √42 / 6 и cos(x) = -√42 / 6

Теперь найдем значения для x:

1. Когда cos(x) = √42 / 6:

x = arccos(√42 / 6) + 2πk, где k - любое целое число.

2. Когда cos(x) = -√42 / 6:

x = arccos(-√42 / 6) + 2πk, где k - любое целое число.

Итак, у нас есть два ряда решений для уравнения 6cos^2(2x) + 22sin^2(x) - 7 = 0:

1. x = arccos(√42 / 6) + 2πk, где k - любое целое число.

2. x = arccos(-√42 / 6) + 2πk, где k - любое целое число.