Question

СРОЧНО четвёртый член геометрической прогрессии в 8 раз больше, чем первый. сумма 3и 4 членов этой прогрессии на 14 меньше, чем их произведение. определите 1 член прогрессии, если все её члены являются положительными.

Answer 1

Из первого условия вытекает: b1*q³ = 8b1 = 2³*b1.

Отсюда b1 = 2.

Из второго условия: (b1*q²) + (b1*q³) =  (b1*q²)*(b1*q³) - 14.

Подставим q = 2.

4b1 + 8b1 = (4b1*8b1) - 14,

12b1 = 32b1² - 14.  Сократим на 2 и получим квадратное уравнение.

16b1² - 6b1 - 7 = 0.    D = 36 + 4*16*7 = 484.

b1 = (6+-22)/32 = 28/32 = 7/8 = 0,875,  b 1 = -12/32 = -3/8   (не принимаем).

Ответ: b1 = 7/8 = 0,875.

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии через "а", а её знаменатель (отношение между соседними членами) через "q".

Тогда четвёртый член будет равен "aq^3", так как он в 8 раз больше первого члена.

Сумма третьего и четвёртого членов прогрессии: "аq^2 + aq^3".

Их произведение: "аq^2 * aq^3 = a^2q^5".

Условие гласит, что сумма 3-го и 4-го членов на 14 меньше их произведения:

аq^2 + aq^3 = a^2q^5 - 14.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. aq^3 = 8a
2. аq^2 + aq^3 = a^2q^5 - 14

Для решения этой системы умножим первое уравнение на "q" и выразим "а" через "q":

q * aq^3 = 8a * q aq^4 = 8aq q^4 = 8 q = 2 (поскольку q должно быть положительным, вариант q = -2 исключается)

Теперь, когда мы знаем значение "q", можем найти "а" из первого уравнения:

a * 2^3 = 8a a * 8 = 8a 8a - 8a = 0 a = 0

Однако, условие гласит, что все члены прогрессии должны быть положительными. Поэтому решение a = 0 не подходит.

Давайте попробуем ещё раз с другим подходом:

Если а = 0, то прогрессия будет состоять только из нулей, что не удовлетворяет условию положительности.

Попробуем другое значение для "а". Допустим, "а" не равно нулю.

Теперь у нас есть:

аq^2 + aq^3 = a^2q^5 - 14

Подставим вместо "а" и "q" значения, которые мы нашли:

а * 2^2 + а * 2^3 = а^2 * 2^5 - 14 4а + 8а = 32а - 14 12а = 32а - 14 14 = 32а - 12а 14 = 20а а = 14/20 а = 7/10

Таким образом, первый член прогрессии равен 7/10.