Question

Сколько корней имеет уравнение x⁴+8х³+23х²+32х+16=0?​

Answer 1

${x}^{4} + {8x}^{3} + {23x}^{2} + 32x + 16 = 0 \\ (x + 1)({x}^{3} + {7x}^{2} + 16x + 16) = 0 \\ (x + 1)(x + 4)({x}^{2} + 3x + 4) = 0 \\ x + 1 = 0 \\ x + 4 = 0 \\ {x}^{2} + 3x + 4 = 0 \\ x_1 = - 4 \\ x_2 = - 1 \\ OTBET: x_1 = - 4; \: \: \: x_2 = - 1$

Answer 2

Для определения количества корней уравнения, мы можем воспользоваться теоремой Безу, которая гласит, что количество корней уравнения равно степени уравнения, но с учетом учета кратности корней. Таким образом, нам нужно найти степень уравнения.

Уравнение x⁴+8x³+23x²+32x+16=0 имеет степень 4, так как наивысшая степень переменной x - это 4.

Теперь нам нужно проверить, есть ли у уравнения кратные корни, так как они могут повлиять на количество уникальных корней.

Для этого найдем производную уравнения и проверим, имеются ли общие корни у уравнения и его производной. Если производная также имеет корень, то это будет кратный корень.

Производная уравнения: 4x³ + 24x² + 46x + 32

Теперь найдем общие корни уравнения и его производной:

x⁴ + 8x³ + 23x² + 32x + 16 = 0 4x³ + 24x² + 46x + 32 = 0

С помощью метода решения уравнений или с помощью программы для численного решения уравнений (например, метод Ньютона), можно найти, что уравнение имеет один корень, который равен x = -2.

Теперь, когда мы знаем, что уравнение имеет один корень и его степень равна 4, можем сказать, что уравнение x⁴ + 8x³ + 23x² + 32x + 16 = 0 имеет 4 корня.