Question

Найти производную функцию 1) f(x)=(6x+3)^9; 2) y=√4-x^2

Answer 1

$1) f(x)=(6x+3)^9 \\ f'(x) = 9(6x+3)^8 \times (6x + 3)' = \\ =54(6x+3)^8$

$2)y = \sqrt{4-x^2} \\y '= \frac{1}{2\sqrt{4-x^2} } \times (4 - {x}^{2} )' = \\ = \frac{ - 2x}{2\sqrt{4-x^2} } = - \frac{ x}{\sqrt{4-x^2} }$

Answer 2

Для нахождения производной функции необходимо применить правила дифференцирования для каждой составляющей функции. Воспользуемся следующими правилами:

1. Правило дифференцирования степенной функции: Если у нас есть функция вида: f(x) = (u(x))^n, где u(x) - некоторая функция, а n - константа, то производная такой функции будет равна произведению степени на производную функции u(x): f'(x) = n * (u(x))^(n-1) * u'(x).

2. Правило дифференцирования функции извлечения корня: Если у нас есть функция вида: f(x) = sqrt(u(x)), где u(x) - некоторая функция, то производная такой функции будет равна произведению дроби (1/2) на производную функции u(x): f'(x) = (1/2) * u'(x) / sqrt(u(x)).

Теперь найдем производные заданных функций:

1. f(x) = (6x + 3)^9 Применим правило степенной функции с n = 9 и u(x) = 6x + 3: f'(x) = 9 * (6x + 3)^(9-1) * (d/dx)(6x + 3)

Вычислим производную u'(x) = (d/dx)(6x + 3) посчитав производные слагаемых: (u)'(x) = (d/dx)(6x) + (d/dx)(3) = 6 + 0 = 6

Теперь можем записать производную f'(x): f'(x) = 9 * (6x + 3)^(9-1) * 6 f'(x) = 54 * (6x + 3)^8

2. y = sqrt(4 - x^2) Применим правило функции извлечения корня с u(x) = 4 - x^2: y' = (1/2) * (d/dx)(4 - x^2) / sqrt(4 - x^2)

Вычислим производную u'(x) = (d/dx)(4 - x^2) посчитав производные слагаемых: (u)'(x) = (d/dx)(4) - (d/dx)(x^2) = 0 - 2x = -2x

Теперь можем записать производную y': y' = (1/2) * (-2x) / sqrt(4 - x^2)

y' = -x / sqrt(4 - x^2)

Итак, производные заданных функций:

1. f'(x) = 54 * (6x + 3)^8
2. y' = -x / sqrt(4 - x^2)