Question

Пожалуйста помогите решить...Доказать не нужно. В правильной треугольной пирамиде SABC боковые рёбра равны 10, а стороны основания равны 16. На сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно, так что BM:MA=BN:NC=1:3. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью SMN является равнобедренным треугольником.б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SMN

Answer 1

Отрезки МВ и NB равны по 16/(1+3) = 16/4 = 4.

Треугольник NBМ равносторонний как равнобедренный с углом 60 градусов. Поэтому NB = 4.

Рассмотрим треугольник SMN. Его высота h из точки S равна:

h = √(10² - (4/2)²) = √(100 - 4) = √96 = 4√6.

Отсюда получаем ответ: площадь сечения пирамиды плоскостью SMN равна: S = (1/2)*h*MN = (1/2)*4√6*4 = 8√6 кв.ед.

Answer 2

Для решения данной задачи давайте приступим к доказательству и решению по частям:

а) Доказательство равнобедренности треугольника SMN:

Поскольку треугольник SABC является правильной треугольной пирамидой, то у него все боковые ребра равны между собой. Таким образом, SA = SB = SC = 10.

Теперь, рассмотрим треугольник SMN. У нас есть соотношение BM:MA = BN:NC = 1:3. Заметим, что отношение длин боковых ребер равно отношению площадей треугольников с общим основанием и высотой, опущенной из вершины этого основания. Из этого следует, что площади треугольников SMN и SBC также будут в отношении 1:3.

Так как треугольник SBC является равнобедренным, то у него SB = SC, и соответственно, площади треугольников SBC и SAB также будут в отношении 1:1.

Теперь, посмотрим на треугольники SMN и SAB, которые имеют равные площади, так как их площади относятся как 1:1. Но так как треугольник SAB правильный, значит, он также равнобедренный, и SM = SN.

Таким образом, треугольник SMN является равнобедренным.

б) Найдем площадь сечения пирамиды плоскостью SMN:

Поскольку треугольник SMN равнобедренный и BM:MA = BN:NC = 1:3, то согласно правилу о площади параллелограмма, площадь треугольника SMN будет равна половине площади треугольника SBC.

Площадь треугольника SBC можно найти по формуле для площади равнобедренного треугольника: S = (1/4) * h * (a^2), где h - высота, а - длина основания.

Высота треугольника SBC может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: h^2 = SB^2 - (a/2)^2.

Зная, что SB = SC = 10 и a = 16, можем найти высоту:

h^2 = 10^2 - (16/2)^2 h^2 = 100 - 64 h^2 = 36 h = 6

Теперь найдем площадь треугольника SBC:

S = (1/4) * 6 * 16^2 S = (1/4) * 6 * 256 S = 384

И, наконец, найдем площадь треугольника SMN:

S_SMN = (1/2) * S_SBC S_SMN = (1/2) * 384 S_SMN = 192

Таким образом, площадь сечения пирамиды плоскостью SMN равна 192 квадратных единиц.