Question

Исследуйте на возрастание, убывание и экстремумы функции f(x)=(x^3)/(3)+(x^2)/(2)-2x-5

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для нахождения экстремумов функции найдём её производную и приравняем её нулю.

у'=х²+х-2

х²+х-2=0 => (х+2)(х-1)=0 => х1=-2; х2=1

у(х1)=у(-2)=-8/3+2+4-5=-5/3

у(х2)=у(1)=1/3+1/2-2-5=-37/6

Точки экстремумов найдены:

(-2;-5/3), (1;-37/6)

Чтобы определить какая из них местный максимум или минимум проверим интервалы (-бесконечность; - 2); (-2; 1) и (1; +бесконечность) на возрастание и убывание функции. Выберем точки х=-3; х=0 и х=2. Подставим их в уравнение производной:

у'(-3)=9-3-2=4>0, значит в интервале (-бесконечность; - 2) функция возрастает

у' (0) =0+0-2< 0 - в интервале (-2; 1) функция убывает

у'(2)=4+2-2>0 - в интервале (1; +бесконечность) функция возрастает.

Таким образом, точка (-2; - 5/3) - местный максимум, а точка (1; - 37/6) - местный минимум функции.

Answer 2

Для исследования функции на возрастание, убывание и нахождение экстремумов, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f(x).
2. Найдите точки, где производная равна нулю или не существует (критические точки).
3. Определите интервалы между критическими точками и точками разрыва, где нужно провести тестирование знака производной.
4. Проанализируйте знак производной на каждом интервале, чтобы определить возрастание или убывание функции.
5. Найдите значения функции в критических точках и точках разрыва, чтобы найти экстремумы (если они есть).

Итак, начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx [(x^3)/3 + (x^2)/2 - 2x - 5] f'(x) = (3x^2)/3 + (2x)/2 - 2 f'(x) = x^2 + x - 2

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю: x^2 + x - 2 = 0

Чтобы найти x, решим квадратное уравнение: x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) = 0

Таким образом, получаем две критические точки: x = -2 и x = 1.

3. Определим интервалы для тестирования знака производной:

Интервал I: x < -2 Интервал II: -2 < x < 1 Интервал III: x > 1

4. Проанализируем знак производной на каждом интервале:

Для интервала I (x < -2): Подставим x = -3 в производную: f'(-3) = (-3)^2 + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 (положительное) Значит, функция возрастает на интервале I.

Для интервала II (-2 < x < 1): Подставим x = 0 в производную: f'(0) = 0^2 + 0 - 2 = -2 (отрицательное) Значит, функция убывает на интервале II.

Для интервала III (x > 1): Подставим x = 2 в производную: f'(2) = 2^2 + 2 - 2 = 2 (положительное) Значит, функция возрастает на интервале III.

5. Найдем значения функции в критических точках и точке разрыва:

Для x = -2: f(-2) = (-2)^3/3 + (-2)^2/2 - 2(-2) - 5 = -8/3 + 2 - (-4) - 5 = -8/3 + 6 - 5 = -8/3 + 1 = -5/3

Для x = 1: f(1) = (1)^3/3 + (1)^2/2 - 2(1) - 5 = 1/3 + 1/2 - 2 - 5 = 1/3 + 1/2 - 10/2 - 5 = 1/3 - 9/2 = (2 - 27)/6 = -25/6

Теперь можем сделать выводы:

• Функция возрастает на интервале (-∞, -2) и на интервале (1, ∞).
• Функция убывает на интервале (-2, 1).
• Точка разрыва отсутствует, так как функция является полиномом и определена на всей числовой прямой.
• Функция имеет локальный минимум в точке x = -2 и локальный максимум в точке x = 1.

Таким образом, исследование функции f(x) = (x^3)/3 + (x^2)/2 - 2x - 5 показывает, что она возрастает на интервалах (-∞, -2) и (1, ∞), убывает на интервале (-2, 1), и имеет локальный минимум в точке x = -2 и локальный максимум в точке x = 1.