Question

Помогите решить пожалуйста (4x+2)(5x-1)<=0 4-x^2>0 2x^2-3x<0 X^2+6x+8>=0 4x^2+9x+2<=0

Answer 1

Первое

.......................

Answer 2

Давайте решим эти неравенства поочередно:

1. (4x + 2)(5x - 1) ≤ 0

Для этого нам нужно найти интервалы значений x, при которых выражение (4x + 2)(5x - 1) меньше или равно нулю.

Сначала факторизуем выражение: (4x + 2)(5x - 1) = 20x^2 - 2x - 5x + 2 = 20x^2 - 7x + 2.

Теперь приравняем его к нулю и найдем корни уравнения:

20x^2 - 7x + 2 = 0

Можем использовать квадратное уравнение или факторизацию, но заметим, что у нас уже есть факторы (4x + 2) и (5x - 1), поэтому можно просто раскрыть скобки:

(4x + 2)(5x - 1) = 0

Получаем два значения x:

1. 4x + 2 = 0 => 4x = -2 => x = -1/2
2. 5x - 1 = 0 => 5x = 1 => x = 1/5

Теперь построим знаки выражения на числовой прямой:

---o------------------o---o-------- -1/2 1/5

Исходное выражение (4x + 2)(5x - 1) ≤ 0 будет выполняться на интервалах между и включая полученные значения -1/2 и 1/5:

-1/2 ≤ x ≤ 1/5

2. 4 - x^2 > 0

Чтобы решить это неравенство, перенесем все в одну сторону:

4 - x^2 - 0

x^2 - 4 < 0

Теперь факторизуем:

(x + 2)(x - 2) < 0

На числовой прямой это выглядит так:

---o--------o---

-2 2

Исходное неравенство x^2 - 4 < 0 выполняется на интервале между -2 и 2 (не включая граничные точки):

-2 < x < 2

3. 2x^2 - 3x < 0

Аналогично, перенесем все в одну сторону:

2x^2 - 3x < 0

Теперь факторизуем:

x(2x - 3) < 0

На числовой прямой:

---o----o-------

0 3/2

Исходное неравенство 2x^2 - 3x < 0 выполняется на двух интервалах:

0 < x < 3/2

4. x^2 + 6x + 8 ≥ 0

Для этого неравенства, найдем корни уравнения, чтобы определить знак выражения:

x^2 + 6x + 8 = 0

Мы не можем найти действительные корни, так как дискриминант D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4, и D > 0. Значит, уравнение не имеет действительных корней.

Так как уравнение не имеет корней, значит, выражение x^2 + 6x + 8 не меняет знак на всем диапазоне значений x.

Значит, неравенство x^2 + 6x + 8 ≥ 0 выполняется для всех значений x.

5. 4x^2 + 9x + 2 ≤ 0

Для этого неравенства, найдем корни уравнения:

4x^2 + 9x + 2 = 0

Можем использовать квадратное уравнение или факторизацию:

(4x + 1)(x + 2) = 0

Получаем два значения x:

1. 4x + 1 = 0 => 4x = -1 => x = -1/4
2. x + 2 = 0 => x = -2

Теперь построим знаки выражения на числовой прямой:

---o--------o------o---

-2 -1/4

Исходное неравенство 4x^2 + 9x + 2 ≤ 0 выполняется на интервале между и включая -2 и -1/4:

-2 ≤ x ≤ -1/4

Таким образом, решения для данных неравенств:

1. -1/2 ≤ x ≤ 1/5
2. -2 < x < 2
3. 0 < x < 3/2
4. x^2 + 6x + 8 ≥ 0 (выполняется для всех значений x)
5. -2 ≤ x ≤ -1/4