Question

На бесконечном листе закрасили 2020 клеток. Докажите, что среди них найдутся 505 закрашенных клеток, не имеющих общих точек.

Answer 1

Решение:

Метод большая шахматная раскраска.

Попробуем закрасить этот листик шахматной раскраской(не обязательно весь листик).

Метод шахматной раскраски иногда представляется с 4-ех угольником.Остается проверить каждый 4 столбец.Не может оказаться что не найдется 505 таких клеток т.к. 202 клеток раскрашено.

Ответ: Да

Метод раскрасок + логика

Answer 2

Если клетки штриховать в шахматном порядке, то можно посчитать закрашенные клетки в каждом четвертом столбике, тогда получится набрать 505 закрашенных, не имеющих общих точек.

Answer 3

Давайте рассмотрим бесконечный лист и предположим, что среди 2020 закрашенных клеток нет 505 клеток, не имеющих общих точек. Это означает, что каждая из 505 закрашенных клеток имеет общую точку с одной из оставшихся 2019 закрашенных клеток.

Рассмотрим одну из этих 505 закрашенных клеток. Она имеет общую точку с одной из оставшихся 2019 закрашенных клеток. Теперь рассмотрим следующую из 505 закрашенных клеток. Она тоже имеет общую точку с одной из оставшихся 2018 закрашенных клеток (потому что уже одна клетка "потрачена" на общую точку с предыдущей закрашенной клеткой).

Продолжая этот процесс для всех 505 закрашенных клеток, мы можем утверждать, что каждая из них имеет общую точку с одной из оставшихся закрашенных клеток. Так как у нас остается всего 2019 закрашенных клеток, а у нас есть 505 закрашенных клеток, каждая из которых имеет общую точку с одной из этих 2019 клеток, то обязательно есть как минимум одна клетка, которая будет общей для двух различных закрашенных клеток. Однако такого быть не может, потому что у нас нет закрашенных клеток с общими точками.

Таким образом, предположение о том, что среди 2020 закрашенных клеток нет 505 клеток, не имеющих общих точек, неверно. Это значит, что среди 2020 закрашенных клеток обязательно найдутся 505 закрашенных клеток, не имеющих общих точек.