Question

Найти решение задачи Коши у'-ycosx=sin2x, y(0)=-1

Answer 1

фото...........................

Answer 2

Для решения данной задачи Коши, используем метод вариации постоянных. Сначала решим однородное уравнение y' - ycos(x) = 0, а затем найдем частное решение для неоднородного уравнения y' - ycos(x) = sin(2x). После этого объединим общее решение однородного уравнения с частным решением неоднородного уравнения и определим константы в результате заданных начальных условий.

Шаг 1: Решение однородного уравнения. Уравнение y' - ycos(x) = 0 является линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Решение такого уравнения имеет вид y_h(x) = Ce^(int(cos(x)dx)), где С - произвольная константа.

Интегрируем функцию cos(x) по x: ∫cos(x)dx = sin(x) + С_1, где С_1 - еще одна произвольная константа.

Таким образом, общее решение однородного уравнения y' - ycos(x) = 0: y_h(x) = Ce^(sin(x) + С_1).

Шаг 2: Находим частное решение неоднородного уравнения. Ищем частное решение неоднородного уравнения в виде y_p(x) = Asin(2x) + Bcos(2x), где A и B - неизвестные константы.

Берем производную: y'_p(x) = 2Acos(2x) - 2Bsin(2x).

Теперь подставим y_p(x) и y'_p(x) в неоднородное уравнение: 2Acos(2x) - 2Bsin(2x) - (Asin(2x) + Bcos(2x))*cos(x) = sin(2x).

Приравниваем коэффициенты при соответствующих функциях: A - Bcos(x) = 0, и 2A - Asin(x) = 1.

Из первого уравнения получаем A = Bcos(x), подставляем во второе: 2Bcos(x) - Bcos(x)sin(x) = 1, Bcos(x)(2 - sin(x)) = 1, B = 1 / (cos(x)*(2 - sin(x))).

Теперь находим A: A = B*cos(x) = 1 / (2 - sin(x)).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения: y_p(x) = 1 / (2 - sin(x)) * sin(2x) + 1 / (cos(x)*(2 - sin(x))) * cos(2x).

Шаг 3: Находим решение задачи Коши. Общее решение задачи Коши будет выглядеть как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, учитывая начальное условие y(0) = -1:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = Ce^(sin(x) + С_1) + 1 / (2 - sin(x)) * sin(2x) + 1 / (cos(x)(2 - sin(x))) * cos(2x).

Теперь используем начальное условие y(0) = -1, чтобы найти константы C и С_1:

-1 = Ce^(sin(0) + С_1) + 1 / (2 - sin(0)) * sin(0) + 1 / (cos(0)(2 - sin(0))) * cos(0), -1 = Ce^0 + 0 + 1 / (12) * 1, -1 = C + 1/2, C = -1 - 1/2, C = -3/2.

Таким образом, окончательное решение задачи Коши: y(x) = (-3/2)e^(sin(x) + С_1) + 1 / (2 - sin(x)) * sin(2x) + 1 / (cos(x)(2 - sin(x))) * cos(2x).