Question

Записать уравнение первообразной,которая проходит через точку A(3;5),для функции:y=x^3-3x^2-2

Answer 1

Ответ:

$F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3-2x+17,75$

Пошаговое объяснение:

Найдем общий вид первообразной

$F(x)=\int(x^3-3x^2-2) \, dx =\frac{x^4}{4}-3\frac{x^3}{3}-2x+C=\frac{x^4}{4}-x^3-2x+C$,

где С=const

Теперь подставим точку A(3;5) в формулу для первообразной. Получим

$\frac{3^4}{4}-3^3-2*3+C=5$

$20\frac{1}{4}-27-6+C=5$

$\frac{1}{4}-7-6+C=5$

$C=5+7+6-0,25$

C=17,75.

Значит в данном случае первообразная выглядит следующим образом

$F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3-2x+17,75$

Answer 2

Чтобы записать уравнение первообразной (интеграла) функции, проходящей через точку A(3;5), нужно выполнить процедуру обратную дифференцированию.

Дано исходное уравнение функции: y = x^3 - 3x^2 - 2

Чтобы найти первообразную, мы должны выполнить интегрирование и найти функцию, производная которой равна данной функции (y). Таким образом, мы ищем функцию F(x):

F'(x) = x^3 - 3x^2 - 2

Чтобы найти F(x), выполним интегрирование по x:

∫(x^3 - 3x^2 - 2) dx

Для этого найдем первообразные отдельных членов и произведем интегрирование:

∫(x^3) dx = (1/4)x^4 + C1

∫(3x^2) dx = x^3 + C2

∫(-2) dx = -2x + C3

Где C1, C2 и C3 - произвольные константы интегрирования.

Теперь объединим все части:

F(x) = (1/4)x^4 + x^3 - 2x + C

Теперь используем условие, что данная первообразная проходит через точку A(3;5), чтобы найти константу C:

5 = (1/4)(3)^4 + (3)^3 - 2(3) + C

5 = (1/4) * 81 + 27 - 6 + C

5 = 20.25 + 21 + C

5 = 41.25 + C

C = 5 - 41.25

C = -36.25

Таким образом, окончательное уравнение первообразной, проходящей через точку A(3;5), будет:

F(x) = (1/4)x^4 + x^3 - 2x - 36.25