Question

Очень срочно!!! На старинном балу встретились жители двух герцогств, из каждого герцогства были как мужчины, так и женщины. Каждый житель одного герцогства поздоровался с каждым жителем другого герцогства. Когда здоровались мужчины -− они пожимали друг другу руки, а когда здоровались две женщины, или мужчина и женщина, то они раскланивались друг другу. Всего было 95 пожиманий рук и 180 раскланиваний. Сколько в сумме могло быть женщин на балу из этих двух герцогств? Напишите через пробел все возможные ответы. Пояснение. Если, например, из каждого герцогства было по одной женщине и одному мужчине, то было 1 рукопожатие и 3 раскланивания, а ответ в задаче 2.

Answer 1

Всего рукопожатий было 95. Попробуем найти кратное число к 95. Допустим, этими числами будут 5 и 19:

5 мужчин в одном герцогстве и 19 мужчин в другом.

Всего раскланиваний было 180, как между женщинами, так и между мужчиной и женщиной.

Возьмем оптимальный вариант:

по 6 женщин с каждого герцогства.

Тогда между женщинами было 6×6=36 поклонов. 19 мужчин сделали 19×6=114 поклонов, и 5 мужчин сделали 5×6=30 поклонов.

Складываем: 36+114+30=180 поклонов.

Итого: с одного герцогства было 5 мужчин и 6 женщин, с другого - 19 мужчин и 6 женщин.

Answer 2

Пусть в первом герцогстве было x мужчин и y женщин, а во втором герцогстве было z мужчин и w женщин.

Теперь рассмотрим пожимания рук:

1. Мужчины из первого герцогства пожимали руки мужчинам из второго герцогства. Количество пожиманий рук между мужчинами: x * z.

2. Женщины из первого герцогства пожимали руки женщинам из второго герцогства. Количество пожиманий рук между женщинами: y * w.

Теперь рассмотрим раскланивания:

1. Мужчины из первого герцогства раскланивались с женщинами из второго герцогства. Количество раскланиваний между мужчинами и женщинами: x * w.

2. Женщины из первого герцогства раскланивались с мужчинами из второго герцогства. Количество раскланиваний между женщинами и мужчинами: y * z.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. x * z + y * w = 95 (пожимания рук)
2. x * w + y * z = 180 (раскланивания)

Мы хотим найти возможные значения x, y, z и w (количество мужчин и женщин в каждом герцогстве).

Теперь перечислим все целочисленные значения, удовлетворяющие этим уравнениям:

(1) x = 5, y = 15, z = 12, w = 6 (2) x = 6, y = 10, z = 15, w = 6 (3) x = 9, y = 5, z = 20, w = 6 (4) x = 10, y = 3, z = 24, w = 6 (5) x = 15, y = 6, z = 5, w = 12 (6) x = 20, y = 6, z = 9, w = 5 (7) x = 24, y = 6, z = 10, w = 3

Всего семь возможных наборов значений для количества женщин из двух герцогств, удовлетворяющих условиям задачи.