Question

Найти неопределенный интеграл: ∫5x³+2/x³-5x²+4x dx

Answer 1

Пошаговое объяснение:

∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C (n ≠ -1)

∫5x³+2/x³-5x²+4x dx=(5/4)x⁴-1/x²-(5/3)x³+2x²+C

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла ∫(5x³ + 2) / (x³ - 5x² + 4x) dx, разобьем дробь на части, если это возможно. В данном случае мы можем применить метод дробей с частными производными (метод неопределенных коэффициентов).

1. Разложим знаменатель на множители: x³ - 5x² + 4x = x(x² - 5x + 4) = x(x² - 4x - x + 4) = x((x - 4)(x - 1)).

2. Теперь представим исходную дробь в виде суммы двух дробей с неизвестными коэффициентами: (5x³ + 2) / (x³ - 5x² + 4x) = A/x + (Bx + C) / ((x - 4)(x - 1)).

3. Найдем значения A, B и C.

Для этого умножим обе части равенства на знаменатель и приведем к общему знаменателю:

5x³ + 2 = A(x - 4)(x - 1) + (Bx + C)x.

Теперь подставим различные значения x, чтобы получить уравнения и найти неизвестные коэффициенты.

a) Положим x = 0: 5(0)³ + 2 = A(0 - 4)(0 - 1) + (B(0) + C)(0) 2 = 4A.

b) Положим x = 4: 5(4)³ + 2 = A(4 - 4)(4 - 1) + (B(4) + C)(4) 322 = 12B + 4C.

c) Положим x = 1: 5(1)³ + 2 = A(1 - 4)(1 - 1) + (B(1) + C)(1) 7 = -3A + 5B + C.

Теперь решим систему уравнений для A, B и C:

1. Из a) получим A = 2/4 = 1/2.

2. Из b) получим 322 = 12B + 4C.

3. Из c) получим 7 = -3(1/2) + 5B + C.

4. Подставим A во второе уравнение: 322 = 12B + 4C.

5. Подставим A в третье уравнение: 7 = -3/2 + 5B + C.

6. Выразим C из третьего уравнения: C = 7 - 5B + 3/2.

7. Подставим C во второе уравнение: 322 = 12B + 4(7 - 5B + 3/2) 322 = 12B + 28 - 20B + 6.

8. Упростим уравнение: 322 = -8B + 34.

9. Выразим B: -8B = 322 - 34 -8B = 288 B = -36.

10. Теперь найдем C: C = 7 - 5(-36) + 3/2 C = 7 + 180 + 3/2 C = 190.5.

Таким образом, коэффициенты равны: A = 1/2, B = -36 и C = 190.5.

11. Теперь можем записать исходную дробь в виде суммы:

(5x³ + 2) / (x³ - 5x² + 4x) = 1/2x - 36x + 190.5 / ((x - 4)(x - 1)).

Теперь можем интегрировать каждую из дробей:

∫(5x³ + 2) / (x³ - 5x² + 4x) dx = ∫(1/2x) dx - ∫(36x) dx + ∫(190.5 / ((x - 4)(x - 1))) dx.

∫(5x³ + 2) / (x³ - 5x² + 4x) dx = 1/2 * ∫x^(-1) dx - 36 * ∫x dx + 190.5 * ∫((x - 4)(x - 1))^(-1) dx.

∫(5x³ + 2) / (x³ - 5x² + 4x) dx = 1/2 * ln|x| - 18x^2 + 190.5 * ln|(x - 4)(x - 1)| + C.

Где C - произвольная постоянная интегрирования.