Question

Семь гномов собрались вечером вокруг костра.Оказалось,что рост каждого гнома равен среднему арифметическому росту двух его соседей.Докажите,что все гномы были одного роста. С обьяснением,пожалуйста(●.●)​

Answer 1

Если бы все гномы были разного роста, то тогда бы, по условию задачи, они сидели у костра в порядке возрастания роста. Но тогда бы оказалось, что среднее арифметическое роста седьмого (высшего) и роста второго (большего по росту от первого) равна роста первого. А это невозможно. Итак, все семь гномов имеют одинаковый рост.

Answer 2

Для доказательства того, что все гномы были одного роста, предположим обратное - пусть у гномов различные росты.

Пусть у нас есть семь гномов, и их рост обозначим следующим образом:

A, B, C, D, E, F, G

Согласно условию, рост каждого гнома равен среднему арифметическому росту двух его соседей. Формально это можно записать следующим образом:

B = (A + C) / 2 C = (B + D) / 2 D = (C + E) / 2 E = (D + F) / 2 F = (E + G) / 2

Теперь давайте заменим значения B, C, D, E, F в уравнениях выше согласно предыдущим уравнениям:

B = (A + (B + D) / 2) / 2 C = ((A + (B + D) / 2) / 2 + D) / 2 D = (((A + (B + D) / 2) / 2 + D) / 2 + (D + F) / 2) / 2 E = ((((A + (B + D) / 2) / 2 + D) / 2 + (D + F) / 2) / 2 + F) / 2 F = (((((A + (B + D) / 2) / 2 + D) / 2 + (D + F) / 2) / 2 + F) / 2 + G) / 2

Теперь объединим все уравнения и упростим их:

B = (A + B + D) / 4 C = (A + B + 2D) / 8 D = (A + 3B + 3D + F) / 16 E = (A + 4B + 6D + 4F + G) / 32 F = (A + 5B + 10D + 10F + 5G) / 64

Теперь заметим, что уравнения имеют структуру арифметической прогрессии, и коэффициенты при A, B, D, F, G - это коэффициенты биномиальных разложений (числа из треугольника Паскаля).

Однако у нас есть проблема: для того чтобы решение было существенным, необходимо, чтобы коэффициенты при каждом из A, B, D, F, G были равны нулю (поскольку у нас есть семь уравнений и семь неизвестных). Но поскольку числа из треугольника Паскаля уникальны и не равны нулю, решение существенным не может быть. Следовательно, предположение о том, что у гномов различные росты, является неверным.

Таким образом, все гномы были одного роста, что и требовалось доказать.