Question

Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если известен один из его корней z1=2+i

Answer 1

Нам требуется составить квадратное уравнение вида

$az^{2} +bz+c=0$

Где a, b и c - действительные числа

$z_0=2+i$

Допустим мы составляем приведенное уравнение (a=1).

Тогда по теореме Виета

$z_1+2+i=-b$

$(2+i)z_1=c$

Для того, чтобы коэффициент c был действительным, мы можем принять $z_1$ за сопряженное с $z_0$, т.е. $z_1=2-i$.

Логично, что для того, чтобы коэффициент b был действительным, требуется чтобы $z_1$ содержал комплексную часть, равную $-i$. Данное условие у нас уже соблюдается.

$b=-(2+i+2-i)=-4$

$c=(2+i)(2-i)=4-(-1)=5$

Теперь мы можем составить уравнение:

$z^{2}-4z+5=0$

Проверка:

$D=16-20=-4=(2i)^{2}$

$z_0=\frac{4+2i}{2} =2+i$

$z_1=2-i$

Ответ: $z^{2}-4z+5=0$

Answer 2

Чтобы составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имея один из его корней z1 = 2 + i, мы также знаем, что комплексные корни всегда идут в парах с их сопряженными значениями. Таким образом, если z1 является корнем, то его сопряженное значение z2 = 2 - i также будет корнем уравнения.

Итак, у нас есть два корня: z1 = 2 + i и z2 = 2 - i.

Чтобы найти квадратное уравнение, мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения, которая гласит: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Где x - корень уравнения, а, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.

Используя наши корни, мы можем записать два уравнения, заменяя x на соответствующие значения корней: (1) z1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a) (2) z2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Раскрывая эти уравнения, мы можем получить систему уравнений, в которой b и c являются неизвестными: (1) 2 + i = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a) (2) 2 - i = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Мы знаем, что коэффициенты квадратного уравнения должны быть действительными числами. Чтобы удовлетворить этому требованию, сопряженные значения z1 и z2 должны быть равными, поэтому: z1 = z2* 2 + i = (2 - i)* 2 + i = 2 - i 2i = -i 3i = 0

Это означает, что полученное уравнение имеет бесконечно много решений и не может быть записано с действительными коэффициентами.