Question

Помогите решить уравнение с разделяющейся переменной y*y'+x=1

Answer 1

Я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Данное уравнение с разделяющимися переменными можно решить методом разделения переменных. Чтобы решить уравнение, следуйте этим шагам:

1. Перепишем уравнение в стандартной форме уравнения с разделяющимися переменными: y * y' = 1 - x.

2. Разделим уравнение на y и dx: (1 / y) dy = (1 - x) dx.

3. Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1 / y) dy = ∫(1 - x) dx.

4. Проинтегрируем левую и правую части уравнения:

ln|y| = x - (x^2 / 2) + C, где С - константа интегрирования.

5. Чтобы найти константу С, используем начальное условие. Допустим, у нас есть начальное условие y(0) = y0 (некоторое значение). Тогда подставим x = 0 и y = y0 в уравнение:

ln|y0| = 0 - (0^2 / 2) + C, ln|y0| = C.

Таким образом, получаем значение константы С: C = ln|y0|.

6. Запишем окончательное решение:

ln|y| = x - (x^2 / 2) + ln|y0|.

7. Чтобы выразить y явно, возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения:

|y| = e^(x - (x^2 / 2) + ln|y0|).

Так как выражение в модуле может быть положительным или отрицательным, разделим решение на два случая:

a) y = e^(x - (x^2 / 2) + ln|y0|) для y0 > 0,

b) y = -e^(x - (x^2 / 2) + ln|y0|) для y0 < 0.

Таким образом, это окончательное решение уравнения с разделяющейся переменной y * y' + x = 1.