Question

Хозяин частного дома планирует сооружение во внутреннем дворе бассейна объемом 108 м³ и глубиной не менее 2 м, но не более 3 м, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Дно и стены бассейна планируется выложить кафельной плиткой. Определите размеры бассейна, удовлетворяющего требуемым условиям, при которых потребуется минимальное количество кафельной плитки

Answer 1

Длина бассейна х, ширина бассейна х, глубина бассейна z. Объём бассейна

$V=x^2z$

По условию

$></p> <p></p> <p>Обкладывемая площадь равна</p> <p></p> <p><img src=$\\

$f^\prime(x)=2x-\frac{432}{x^2} =0\\x^3=216\\x=6.$

Таким образом, искомый бассейн имеет длину и ширину 6 м, а глубину 108:36=3 м.

Answer 2

Для определения размеров бассейна, которые обеспечат минимальное количество кафельной плитки, нужно найти оптимальные размеры основания и высоты. Предположим, что длина, ширина и высота бассейна равны L, L и H соответственно.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты: V = L * L * H = L^2 * H.

У нас дано, что объем бассейна равен 108 м³: V = 108 м³.

Также известно, что глубина бассейна должна быть не менее 2 м и не более 3 м: 2 м ≤ H ≤ 3 м.

Мы хотим минимизировать количество кафельной плитки, которая будет использоваться для дна и стен бассейна. Площадь основания бассейна и его боковой поверхности, которую необходимо покрыть кафельной плиткой, составляют минимально возможную площадь кафельного покрытия.

Площадь основания бассейна: A_основания = L * L = L^2.

Площадь боковой поверхности бассейна: A_боковой_поверхности = 2 * H * (L + L) = 4 * H * L.

Таким образом, общая площадь, которую необходимо покрыть кафельной плиткой, составляет: A_кафельной_плитки = A_основания + A_боковой_поверхности = L^2 + 4 * H * L.

Теперь мы можем выразить высоту H через объем V и длину L:

H = V / (L^2).

Подставим это выражение в формулу общей площади покрытия кафельной плиткой:

A_кафельной_плитки = L^2 + 4 * (V / L).

Теперь у нас есть формула для общей площади кафельного покрытия в зависимости от длины L. Чтобы найти минимальное количество кафельной плитки, нужно найти минимум этой функции.

Для этого возьмем производную и приравняем ее к нулю:

d(A_кафельной_плитки)/dL = 2L - 4(V / L^2) = 0.

Решим уравнение:

2L = 4(V / L^2).

Переносим все в одну часть:

L^3 = V / 2.

Теперь выражаем L:

L = (V / 2)^(1/3).

Подставим значение объема V = 108 м³:

L = (108 / 2)^(1/3) ≈ 5.63 м.

Теперь найдем высоту H:

H = V / (L^2) ≈ 108 / (5.63^2) ≈ 3 м.

Таким образом, оптимальные размеры бассейна для минимального количества кафельной плитки составляют примерно 5.63 м в длину, 5.63 м в ширину и 3 м в высоту.