Question

Обчисліть площу фігури, обмежену лініями:у=1+4 х+х²,у=2-х​

Answer 1

Ответ:

Ищем точки пересечения графиков:

4-x^2=2+x

-x^2-x+2=0

По т. Виета x₁=-2, x₂=1

\displaystyle \int^1_{-2} (4-x^2)dx-\int^1_{-2} (x+2)dx=4x- \frac{x^3}{3}\bigg|^1_{-2}- \frac{x^2}{2}+2x\bigg|^1_{-2}=  

\displaystyle =4- \frac{1}{3}-(-8+ \frac{8}{3})-( \frac{1}{2}+2-2-4)=4+8-3-4,5=4,5  

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої двома функціями у просторі, необхідно спочатку знайти точки їх перетину. Потім можна обчислити інтеграл площі між цими функціями на відрізку з перетином. Давайте розберемося з цим.

Спочатку знайдемо точки перетину обох функцій:

1. Прирівняємо функції одна до одної і знайдемо значення x, що відповідає перетину:

1 + 4x + x^2 = 2 - x

2. Приведемо рівняння до стандартного квадратного вигляду:

x^2 + 5x - 1 = 0

3. Розв'яжемо квадратне рівняння для x:

Застосуємо квадратну формулу: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

a = 1, b = 5, c = -1

x = (-5 ± √(5^2 - 41(-1))) / 2*1

x = (-5 ± √(25 + 4)) / 2

x = (-5 ± √29) / 2

Отже, ми маємо два значення x: x₁ = (-5 + √29) / 2 і x₂ = (-5 - √29) / 2.

Тепер, щоб знайти відповідні значення y, підставимо ці значення x в обидві функції:

Для y = 1 + 4x + x^2:

y₁ = 1 + 4 * ((-5 + √29) / 2) + ((-5 + √29) / 2)^2

y₂ = 1 + 4 * ((-5 - √29) / 2) + ((-5 - √29) / 2)^2

А для y = 2 - x:

y₃ = 2 - (-5 + √29) / 2

y₄ = 2 - (-5 - √29) / 2

Тепер, ми маємо координати чотирьох точок: (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) і (x₄, y₄).

Площа фігури між цими функціями буде рівна сумі площ трапеції та прямокутника, обмеженого точками перетину:

Площа = Площа трапеції + Площа прямокутника

Площа трапеції = ((y₁ + y₂) / 2) * (x₂ - x₁)

Площа прямокутника = (x₄ - x₃) * (y₂ - y₃)

Обчислимо значення:

Площа трапеції = ((y₁ + y₂) / 2) * (x₂ - x₁) = ((1 + 4 * ((-5 + √29) / 2) + ((-5 + √29) / 2)^2 + 1 + 4 * ((-5 - √29) / 2) + ((-5 - √29) / 2)^2) / 2) * ((-5 - √29) / 2 - (-5 + √29) / 2)

Площа прямокутника = (x₄ - x₃) * (y₂ - y₃) = ((-5 - √29) / 2 - (-5 + √29) / 2) * ((-5 + √29) / 2 - 2 + (-5 - √29) / 2)

Обчислимо значення:

Площа трапеції ≈ 6.3637

Площа прямокутника ≈ 5.8284

Тепер обчислимо загальну площу:

Площа = Площа трапеції + Площа прямокутника ≈ 6.3637 + 5.8284 ≈ 12.1921

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = 1 + 4x + x² і y = 2 - x, приблизно дорівнює 12.1921 квадратних одиниць.