Question

Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции f(x)=x²(2-x²)​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f(x)=x²(2-x²)​=2х²-х⁴

f'(x)=4x-4x³=0

4x(1-x²)=0

1) x₁=0

2) 1-x²=0 ; x²=1; x₂=1; x₃=-1

y'               +                             -                      +                 -

(-∞)----------------------(-1)---------------------0-------------------1-----------------(+∞)

у           возрастает     убывает            возрастает      убывает

                              max                     min                   max

у возрастает при х∈(-∞;-1]∪[0;1]

у убывает при х∈[-1;0]∪(1;+∞]

экстремумы в точках (-1) max ; 0 min; 1 max

Answer 2

Для определения промежутков монотонности и экстремумов функции f(x) = x²(2 - x²), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f'(x).
2. Решите уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки (где производная равна нулю или не существует).
3. Исследуйте знак производной в интервалах между критическими точками и на концах области определения функции.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x):

f(x) = x²(2 - x²) f'(x) = 2x(2 - x²) + x²(-2x) f'(x) = 2x(2 - x²) - 2x³

Шаг 2: Найдем критические точки, решив уравнение f'(x) = 0:

2x(2 - x²) - 2x³ = 0 2x(2 - x² - x²) = 0 2x(2 - 2x²) = 0 x(2 - 2x²) = 0

Итак, критические точки равны x = 0 и x = ±√2.

Шаг 3: Исследуем знак производной в интервалах между критическими точками и на концах области определения функции.

a) Если x < -√2: Подставим x = -3 в f'(x) = 2x(2 - x²) - 2x³: f'(-3) = 2(-3)(2 - (-3)²) - 2(-3)³ f'(-3) = 2(-3)(2 - 9) + 54 f'(-3) = 2(-3)(-7) + 54 f'(-3) = 42 + 54 f'(-3) = 96 (положительное число)

b) Если -√2 < x < 0: Подставим x = -1 в f'(x) = 2x(2 - x²) - 2x³: f'(-1) = 2(-1)(2 - (-1)²) - 2(-1)³ f'(-1) = 2(-1)(2 - 1) - 2(-1)³ f'(-1) = 2(-1)(1) - 2(-1)³ f'(-1) = -2 + 2 f'(-1) = 0 (нулевая производная)

c) Если 0 < x < √2: Подставим x = 1 в f'(x) = 2x(2 - x²) - 2x³: f'(1) = 2(1)(2 - 1²) - 2(1)³ f'(1) = 2(1)(2 - 1) - 2(1)³ f'(1) = 2(1)(1) - 2(1)³ f'(1) = 2 - 2 f'(1) = 0 (нулевая производная)

d) Если x > √2: Подставим x = 3 в f'(x) = 2x(2 - x²) - 2x³: f'(3) = 2(3)(2 - 3²) - 2(3)³ f'(3) = 2(3)(2 - 9) - 2(3)³ f'(3) = 2(3)(-7) - 54 f'(3) = -42 - 54 f'(3) = -96 (отрицательное число)

Теперь составим таблицу для знака производной:

x < -√2	-√2 < x < 0	0 < x < √2	x > √2
+	0	0	-

Теперь, используя таблицу знаков производной, найдем промежутки монотонности и экстремумы:

1. Промежуток монотонности:

• Функция возрастает на интервале (-∞, -√2) и на интервале (0, √2).
• Функция убывает на интервале (-√2, 0) и на интервале (√2, +∞).

2. Экстремумы:

• Функция имеет локальный максимум в точке x = -√2.
• Функция имеет локальный минимум в точке x = √2.

Таким образом, промежутки монотонности функции f(x) = x²(2 - x²) следующие:

1. Функция возрастает на интервалах (-∞, -√2) и (0, √2).
2. Функция убывает на интервалах (-√2, 0) и (√2, +∞).

А экстремумы функции:

• Локальный максимум в точке x = -√2.
• Локальный минимум в точке x = √2.