Question

Внутри произвольного треугольника ABC взяли точку О равноудаленную от сторон AB и AC Докажите что точка О лежит на биссектрисе угла A

Answer 1

К сожалению, не могу Вам нарисовать. Не поддерживает мой браузер таких операций. Но все же.  постараюсь объяснить.

Пусть точки К и Т- основания перпендикуляров ОК и ОТ, проведенных к сторонам АВ и АС соответственно. ОК=ОТ- по условию, а АО- общая, тогда треугольники АОК и АОТ равны по катету и гипотенузе, а в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, т.к. КО=ТО, то Угол КАО=углу ТАО, но это доказывает, что АО - биссектриса угла КАТ, а, значит, и угла АВС,  а точка О- лежащая на этой биссектрисе точка.

Answer 2

Для доказательства того, что точка О лежит на биссектрисе угла A, мы можем воспользоваться свойством равноудаленности точки О от сторон AB и AC.

Пусть D - середина стороны BC треугольника ABC. Так как точка О равноудалена от сторон AB и AC, она лежит на перпендикуляре, опущенном из точки D на сторону AB, а также на перпендикуляре, опущенном из точки D на сторону AC. Это можно обозначить следующим образом:

1. OD ⊥ AB (поскольку О равноудалена от АВ)
2. OD ⊥ AC (поскольку О равноудалена от АС)

Таким образом, точка D является серединой гипотенузы OC прямоугольного треугольника AOC, а также серединой гипотенузы OB прямоугольного треугольника AOB.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники AOC и AOB:

1. В треугольнике AOC: OD ⊥ AC и OD является медианой.
2. В треугольнике AOB: OD ⊥ AB и OD является медианой.

Так как медиана пересекает сторону треугольника в точке, деля её пополам, то точка О является точкой пересечения медиан треугольников AOC и AOB. А точка пересечения медиан треугольника называется центром тяжести этого треугольника.

Таким образом, точка О является центром тяжести треугольника ABC и, следовательно, она лежит на биссектрисе угла A, так как биссектриса каждого угла треугольника проходит через его центр тяжести.

Таким образом, доказано, что точка О лежит на биссектрисе угла A треугольника ABC.