Question

98 БАЛЛОВ! ЗАДАЧА ДЛЯ 5-7 КЛАССОВ! Пожалуйста, с ПОДРОБНЫМ решением! Заранее спасибо! Даны двадцать карточек. Каждая из цифр от нуля до девяти включительно написана на двух из этих карточек (на каждой карточке – только одна цифра). Можно ли расположить эти карточки в ряд так, чтобы нули стояли рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, между двойками – две, и так далее до девяток, между которыми должно быть девять карточек? Решение: ?????? Ответ: нет, нельзя.

Answer 1

Возьмем 20 коробок. В первую положим по одной карточке каждого вида, во вторую положим карточку 0, в третью - карточку 1,... в одиннадцатую - карточку 9. Коробки с двенадцатой по двадцатую оставим пустыми. Это было сделано для того, чтобы между коробками, содержащими карточки n было ровно n коробок.

Назовем нормой n сумму номеров коробок, содержащих карточку с номером n.

Заметим, что в данный момент норма n равна 1 + (1 + n + 1) = n + 3 [Одна карточка каждого вида лежит в коробке 1, а вторая карточка лежит через n коробок от нее - в коробке с номером 1 + n + 1], причем норма нечетных чисел четна, норма четных чисел нечетна. И правда:

1) пусть n - нечетно. Тогда норма n - четное число(как сумма нечетных чисел)

2) пусть n - четно. Тогда норма n - нечетное число(как сумма четного и нечетного чисел)

Так как среди цифр 5 четных и 5 нечетных, то сумма норм этих цифр нечетна [Сумма 5 нечетных чисел нечетна, сумма 5 четных чисел четна, тогда сумма всех норм нечетна как сумма четного и нечетного чисел]

Теперь, чтобы сохранить кол-во коробок между коробками с карточками одного вида, будем сдвигать карточки одного вида в одну сторону на одно и то же количество коробок. Допустим, что после нескольких сдвигов условие задачи выполняется.

Заметим, что четность нормы n при этом не изменится. И вправду: Пусть первая карточка n лежит в коробке a, вторая - в коробке b, сдвиг идет на k коробок. Норма до сдвига: a + b. Норма после сдвига: (a + k) + (b + k) = a + b + 2k - сумма нормы до сдвига и четного числа. Очевидно, что четности совпадают.

Значит и суммы норм до и после всех сдвигов совпадают по четности.

Очевидно, что сумма норм всех карточек после всех сдвигов при выполнении условия задачи равна сумме номеров коробок [Все коробки заняты, и в каждой по одной карточке].

Сумма номеров коробок в конце равна (1 + 20) / 2 * 20 = 21 * 10 = 210 - четное число. Противоречие с тем, что четность норм не меняется.

А значит и получить порядок карт, указанный в условии, невозможно

Ответ: нет, нельзя

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу. У нас есть 20 карточек с цифрами от 0 до 9. Мы хотим расположить их в ряд таким образом, чтобы между цифрами 0 и 1 была одна карточка, между цифрами 1 и 2 - две карточки, и так далее, до 9, между которыми должно быть 9 карточек.

Давайте посмотрим на минимальное количество карточек, которое требуется для удовлетворения этим условиям:

• Для 0 и 1: 1 карточка (между ними)
• Для 1 и 2: 2 карточки (между ними)
• Для 2 и 3: 3 карточки (между ними)
• ...
• Для 9 и 0: 9 карточек (между ними)

Суммируем все значения: 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45.

Итак, чтобы удовлетворить условия задачи, нам нужно, чтобы между всеми цифрами суммарно было использовано 45 карточек.

Однако у нас всего 20 карточек, что явно меньше необходимого количества. Поэтому нет возможности расположить эти карточки в ряд так, чтобы удовлетворить всем условиям задачи.

Ответ: Нет, нельзя.