Question

Помогите пожалуйста нужно определить множество значений функции f(x)=4 в степени 2x-x^2 ,если можно с решением

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Для определения множества значений функции f(x) = 4^(2x - x^2), нужно найти все возможные значения, которые может принимать функция при различных значениях переменной x.

Для начала, давайте проанализируем функцию. Заметим, что основание степени 4^(2x - x^2) всегда положительное, так как 4 в любой степени даёт положительное число. Также обратим внимание, что 4^(2x - x^2) может быть равно нулю только в случае, когда степень 2x - x^2 равна нулю: 2x - x^2 = 0.

Теперь найдем точки, в которых производная функции равна нулю, чтобы определить экстремумы функции:

f(x) = 4^(2x - x^2)

Найдем производную функции:

f'(x) = d/dx (4^(2x - x^2))

Используем цепное правило для дифференцирования сложной функции:

f'(x) = ln(4) * 4^(2x - x^2) * d/dx(2x - x^2)

f'(x) = ln(4) * 4^(2x - x^2) * (2 - 2x)

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

ln(4) * 4^(2x - x^2) * (2 - 2x) = 0

Так как ln(4) и 4^(2x - x^2) всегда положительные, уравнение упрощается до:

2 - 2x = 0

Отсюда находим x:

2x = 2

x = 1

Таким образом, критическая точка функции находится при x = 1.

Для анализа поведения функции в окрестности критической точки, рассмотрим знак производной:

Когда x < 1: f'(x) > 0 Когда x > 1: f'(x) < 0

Это означает, что у функции есть локальный максимум в точке x = 1. Теперь найдем значение функции в этой точке:

f(1) = 4^(2*1 - 1^2) = 4^(2 - 1) = 4^1 = 4

Таким образом, максимальное значение функции равно 4.

Итак, множество значений функции f(x) = 4^(2x - x^2) - это все положительные числа, кроме 0, и максимальное значение равно 4. Минимальное значение 0 не достигается, так как 4^(2x - x^2) не может быть равно 0, кроме x = ±бесконечность, но в таком случае функция не будет определена в этих точках.