Question

Даны два элемента бесконечной последовательности чисел 333 и 2006. Каждый следующий элемент этой последовательности является разностью между предыдущим элементом и элементом предыдущим предыдущему элементу. Какова сумма первого миллиарда чисел этой последовательности? А) 2672000000000 Б) 1673000000000 В) 836500000000 Г) 3679 Д) 1673 Е) 666 Ж) 0 З) -333 И) -2006

Answer 1

Ответ: Г)

Пошаговое объяснение:

Пусть для удобства :  333=a ; 2006=b

Тогда можно выписать подряд несколько членов:

a, b ,b-a , -a, -b , a-b ,a,b  ( с этого момента числа начинают повторятся)

Период повторений равен 6.

Cложим все числа входящие в 1  период:

a+b +(b-a) -a-b+(a-b)=0 (сумма чисел в периоде равна 0)

Найдем остаток от деления  10^9 на  6 (  одного миллиарда)

Очевидно ,что  число   10^9 -4  делится на 6.  Тк имеет вид :

9999...96 (  оно  делится на 3 и  на 2)  ,  то  10^9   дает остаток 4 при  делении на 6.

То  есть :  10^9= 6*k+4

Cумма  первых 6*k чисел равна 0 , тк  сумма чисел в каждом периоде ,состоящем из 6 чисел равно 0.

Тогда  сумма первых 10^9 чисел равна сумме 4 первых чисел из периода:

S= a+b+(b-a) -a=2b-a

S=2b-a= 2*2006-333= 3679

Ответ: 3679

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать рекуррентную формулу для вычисления элементов последовательности.

Обозначим первые два элемента последовательности как a1 = 333 и a2 = 2006. Затем можно использовать рекуррентную формулу для нахождения следующих элементов:

a(n) = a(n-1) - a(n-2)

Сначала найдем первые несколько элементов последовательности:

a3 = a2 - a1 = 2006 - 333 = 1673 a4 = a3 - a2 = 1673 - 2006 = -333 a5 = a4 - a3 = -333 - 1673 = -2006 a6 = a5 - a4 = -2006 - (-333) = -1673 a7 = a6 - a5 = -1673 - (-2006) = 333 a8 = a7 - a6 = 333 - (-1673) = 2006

Мы видим, что последовательность повторяется с периодом 6: 333, 2006, 1673, -333, -2006, -1673, 333, 2006, ...

Сумма первых шести элементов равна: 333 + 2006 + 1673 - 333 - 2006 - 1673 = 0

Теперь мы знаем, что сумма каждых шести элементов будет равна нулю. Поскольку миллиард делится на 6 без остатка (1 000 000 000 / 6 = 166 666 666), сумма первого миллиарда элементов также будет равна нулю.

Ответ: Ж) 0