Question

Основание пирамиды SABCD— параллелограмм ABCD. Пусть K— середина ребра SD,M— середина ребра AB, а пирамида SABCD правильная, причём все её рёбра равны. Найдите угол между прямыми AK и SM

Answer 1

Если все рёбра пирамиды равны, то в основании не просто параллелограмм, а квадрат.

Поместим её в прямоугольную систему координат, вершиной А в начало, АД по оси Ох, АВ по оси Оу.

Для удобства (из за кратности) примем длину ребра 4 ед.

Определяем координаты заданных точек.

Высоту пирамиды Н определяем по треугольнику сечения через противоположные рёбра. Диагональ основания равна 4√2.

Н = √(4² - (4√2/2)²) = √(16 - 8) = √8 = 2√2.

А(0; 0; 0), К(3; 1; √2).  

Вектор АК(3; 1; √2), модуль √(9 + 1 + 2) = √12 = 2√3.

S(2; 2; 2√2), M(0; 2; 0).

Вектор SM(-2; 0; -2√2), модуль √(4 + 0 + 8) = √12 = 2√3.

Находим угол между прямыми AK и SM.

cos α = |(-6 + 0 + (-4)|/(2√3*2√3) = 10/12 = 5/6.

α = arc cos(5/6) = 0,5857  радиан = 33,5573 градуса.

Answer 2

Для нахождения угла между прямыми AK и SM воспользуемся свойствами правильной пирамиды и параллелограмма.

Поскольку пирамида SABCD является правильной, все ее ребра равны. Параллелограмм ABCD имеет противоположные стороны, которые параллельны и равны.

Из этого следует, что треугольник ASK является равнобедренным, так как сторона SA равна стороне SK, а угол ASK равен углу SKA. Аналогично, треугольник DSM также является равнобедренным.

Учитывая, что K и M являются серединами ребер SD и AB соответственно, мы можем сказать, что отрезок KM является медианой параллелограмма ABCD. В правильной пирамиде медиана, проведенная из вершины, делит противоположную сторону на две равные части.

Таким образом, отрезок KM делит сторону AB пополам, и мы имеем AM = MB.

Теперь рассмотрим треугольник ASM. У него две равные стороны: AS и SM. Также у него равные углы ASK и SKA. Поскольку AM = MB, у треугольника ASM также равны углы ASM и SMA.

Таким образом, у треугольника ASM все три угла равны, что делает его равносторонним.

Уравнение угла между прямыми AK и SM в равностороннем треугольнике равно 60 градусов.

Таким образом, угол между прямыми AK и SM равен 60 градусов.