Question

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Пусть K— точка пересечения этой плоскости с ребром SC. Найдите угол между прямой BK и плоскостью ASB, если AB:AS=1:2.

Answer 1

В правильной шестиугольной пирамиде проекция бокового ребра на основание равна стороне основания.

Примем ребро основания за 1, боковое ребро - 2.

Находим высоту пирамиды: Н = √(2² - 1²) = √3.

Половина высоты равна √3/2.

Расстояние от ребра АВ до высоты пирамиды равно 1*cos 30° = √3/2.

То есть секущая плоскость (а с ней и отрезок ВК) имеют угол наклона к основанию 45 градусов.

Сделаем осевое сечение пирамиды перпендикулярно ребру АВ.

В сечении равнобедренный треугольник PST, боковые стороны которого PS и ST равны апофеме А.

А= √((√3/2)² + Н²) = √((3/4+ 3) = √(15/4) = √15/2.

Если отрезок ВК перенести  точкой В в точку Р, то угол SPM и будет искомым углом φ между прямой BK и плоскостью ASB.

Отрезок РМ = (√3/2)*√2 = √6/2.

cos φ = )(6/4) + (15/4) - (3/4))/(2*(√6/2)*(√15/2)) = 3√10/10.

φ = arc cos(3√10/10) = 0,32175 радиан = 18,435 градуса.

Векторное решение подтверждает этот результат.

Направляющий вектор прямой имеет вид: l m n

Скалярное произведение = 0,75    

s = {l; m; n}  0,433012702 0,75 0,866025404

Модуль =√1,5 =  1,224744871.  

Вектор нормали плоскости имеет вид:  A B C  

sin fi = 0,316227766  

  Ax + By + Cz + D = 0  

0,866025404 1,5 -0,866025404 Модуль 1,936491673

fi = 0,321750554 радиан

  =   18,43494882 градус .

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться геометрическими свойствами правильной шестиугольной пирамиды.

Первым шагом найдем точку K — точку пересечения плоскости ABCD с ребром SC. Поскольку ABCD является гранью пирамиды SABCDEF, то точка K также принадлежит этой грани. Далее обозначим точку M — середину отрезка AB.

Известно, что AB:AS = 1:2, а пирамида является правильной, следовательно, SB:SA = 1:2. Так как AM является медианой треугольника ASB, то AM:MS = 2:1.

Поскольку M — середина AB, можно сказать, что AM:MB = 1:1. Из этих двух отношений получаем, что MS:MB = 2:1.

Теперь рассмотрим треугольник BMS. У нас есть два отрезка, BK и MS, которые пересекаются в точке M. Так как MS:MB = 2:1, то можно сказать, что угол BMS равен углу KBM (они смежные углы).

Теперь обратимся к плоскости ASB. Треугольник ASB является прямоугольным, поскольку это правильная пирамида, и сторона AB является диаметром окружности, описанной вокруг основания ABCDEF пирамиды. Следовательно, угол ASB равен 90 градусам.

Таким образом, угол между прямой BK и плоскостью ASB равен углу KBM, который также равен углу BMS и составляет 90 градусов.