Question

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Точка M— середина ребра SD. Найдите угол между прямой AM и плоскостью CSF, если AB:SA==1:√19

Answer 1

Эту задачу можно решить двумя способами:

1) геометрическим,

2) векторным.

1) Примем сторону основания а = 1 (как дано в задании), боковое ребро = √19 .

В осевом сечении ASD проекция отрезка АМ на основание равна 1,5.

Высота пирамиды Н = √((√19)² - 1²) = √18 = 3√2.

Высота точки М равна половине этой величины, то есть 3√2/2.

Отрезок АМ пересекает высоту SO в точке Е.

Проекция ЕМ на горизонт равна (1/3) проекции АМ, то есть 1,5/3 = 0,5.

Проекция ЕМ на вертикаль равна (1/3) высоты точки М, то есть (3√2/2)/3 = √2/2.

Угол между ЕМ и плоскостью СSF и есть искомый угол.

ЕM = 1/cos 30° = 1/(√3/2) = 2/√3 = 2√3/3.

Расстояние от точки М до плоскости СSF равно 0,5*sin 60° = √3/4.

Отсюда находим искомый угол α:

sin α = (√3/4)/(√3/2) = 1/2.

α = arc sin (1/2) = 30°.

2)  Поместим пирамиду в систему координат вершиной A в точку √3/2,  ребром ВС по оси Оу.

Координаты точек:

C(0; 1,5; 0),  S(√3/2; 1; 3√2),   F(√3; 0,5; 02).

По трём точкам находим уравнение плоскости ASC:

ASC: 5,19615x + 9y + 0z - 13,5 = 0 .

Точки A(√3/2; 0; 0),  M(√3/2; 1; 3√2).

Вектор MA: (0; 1,5; 3√2/2).

Направляющий вектор прямой имеет вид: l m n

Скалярное произведение 13,5    

  s = {l; m; n}  0 1,5 2,12132

Модуль = √6,75 = 2,598.  

Вектор нормали плоскости имеет вид:

    A B C   sin fi = 0,5  

  Ax + By + Cz + D = 0  5,196152423 9 0

Модуль 10,3923.

fi = 0,5236 радиан = 30 градус .

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся геометрическими свойствами правильной шестиугольной пирамиды.

Поскольку SABCDEF является правильной шестиугольной пирамидой, то ребро SA является высотой пирамиды и перпендикулярно основанию SBCDEF. Также, поскольку M является серединой ребра SD, то ребро AM является высотой треугольника ASD.

Из данного условия, AB:SA = 1:√19, можно заключить, что длина ребра AB составляет 1, а длина ребра SA равна √19.

Теперь нам нужно найти угол между прямой AM и плоскостью CSF. Обозначим этот угол через α.

Поскольку пирамида SABCDEF является правильной, то ее основание SBCDEF является правильным шестиугольником. Значит, угол между прямой SM и плоскостью CSF будет 90 градусов, так как прямая SM, проходящая через середину ребра SD, перпендикулярна к основанию пирамиды.

Таким образом, угол α между прямой AM и плоскостью CSF равен углу между прямой SM и плоскостью CSF.

Так как угол между прямой SM и плоскостью CSF равен 90 градусов, то и угол α равен 90 градусов.

Итак, угол между прямой AM и плоскостью CSF составляет 90 градусов.