Question

Запись девятизначного числа, делящегося на 37, разделили на две части и переставили эти части друг с другом. Обязательно ли полученное девятизначное число будет делиться на 37 ? (конечно, с пояснениями, а не один ответ).

Answer 1

Пусть наше число $\overline{a_8a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0}=a_8*10^8+a_7*10^7+...+a_1*10+a_0\equiv (26(a_8+a_5+a_2)+10(a_7+a_4+a_1)+(a_6+a_3+a_0))\:(mod\:37)$

Тогда после перестановок могут получиться числа $></p> <p><img src=$

Обозначим $a_2+a_5+a_8=Z,\:a_1+a_4+a_7 = X,\:a_0+a_3+a_6=Y$

Тогда, по условию, $26Z+10X+Y\equiv0\:(mod\:37)$

Заметим, что сумма этих трех возможных остатков равна $37(X+Y+Z)$, а значит кратна 37. Тогда, если $10Z+X+26Y\equiv K\:(mod\:37), 0\leq K$, то $Z+26X+10Y\equiv37-K(mod\:37)$

Значит $11Z+27X+36Y\equiv0(mod\:37)$

Тогда $></p> <p>А значит <img src=$. Тогда, с учетом ограничений, $K=0$.

А значит все числа, получающиеся с помощью таких перестановок, кратны 37.

Ответ: Да

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте предположим, что исходное девятизначное число равно ABCDEFGHI, где каждая буква представляет одну из цифр числа (от 0 до 9).

Так как число делится на 37, мы можем записать следующее:

ABCDEFGHI = 37 * K, где K - некоторое целое число.

После того как мы разделили число на две части и переставили их, у нас получилось новое девятизначное число: XYZABCDEF.

Теперь предположим, что это новое число также делится на 37:

XYZABCDEF = 37 * M, где M - другое целое число.

Мы хотим проверить, будет ли новое число XYZABCDEF делиться на 37.

Мы можем записать это выражение как:

XYZABCDEF = 1000000 * X + 100000 * Y + 10000 * Z + 1000 * A + 100 * B + 10 * C + D

Теперь заменим X, Y и Z:

X = A, Y = B, Z = C

Теперь у нас есть:

XYZABCDEF = 1000000 * A + 100000 * B + 10000 * C + 1000 * A + 100 * B + 10 * C + D XYZABCDEF = 1001000 * A + 100100 * B + 10010 * C + D

Здесь мы можем выделить общий множитель:

XYZABCDEF = 1001000 * A + 100100 * B + 10010 * C + D = 1001 * (1000 * A + 100 * B + 10 * C + D)

Итак, мы видим, что новое девятизначное число XYZABCDEF является произведением 1001 и некоторого числа (1000 * A + 100 * B + 10 * C + D). Теперь обратите внимание, что 1001 = 37 * 27.

Таким образом, мы можем записать:

XYZABCDEF = 37 * 27 * (1000 * A + 100 * B + 10 * C + D)

Таким образом, новое девятизначное число также делится на 37. Это верно, потому что мы просто умножили предыдущее число на 1001, что эквивалентно умножению на 37 и 27.

Таким образом, когда мы переставляем две части исходного девятизначного числа, новое число также будет делиться на 37.