Question

разность четвертого и второго члена геометрической прогрессии равна 30, а разность четвертого и третьего 24. найти 5 член прогрессии ( через замену)​

Answer 1

Составим уравнения по условию

$\displaystyle \left \{ {{b_4-b_2=30} \atop {b_4-b_3=24}} \right.$

По формуле n-го члена геометрической прогрессии мы получим

$\displaystyle \left \{ {{b_1q^3-b_1q=30} \atop {b_1q^3-b_1q^2=24}} \right.~\Rightarrow~\left \{ {{b_1q(q^2-1)=30} \atop {b_1q^2(q-1)=24}} \right.~\Rightarrow~\left \{ {{b_1q(q-1)(q+1)=30} \atop {b_1q^2(q-1)=24}} \right.\\ \\ \\ \left \{ {{b_1q(q-1)(q+1)=30} \atop {b_1q(q-1)=\dfrac{24}{q}}} \right.\\ \\ \\ \dfrac{24}{q}\cdot (q+1)=30~~~\Rightarrow~~ 24(q+1)=30q~~~\Rightarrow~~~ 24q+24=30\\ \\ 6q=24~~~\Rightarrow~~~ q=4\\ \\ b_1=\dfrac{24}{q^2(q-1)}=\dfrac{24}{4^2\cdot (4-1)}=\dfrac{1}{2}$

Пятый член геометрической прогрессии

$b_5=b_1q^4=\dfrac{1}{2}\cdot 4^4=128$

Ответ: 128

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен "а", а знаменатель прогрессии равен "q".

Тогда члены прогрессии будут следующими: 1-й член: а 2-й член: а * q 3-й член: а * q^2 4-й член: а * q^3

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

1. а * q^3 - а * q = 30
2. а * q^3 - а * q^2 = 24

Давайте решим эти уравнения.

Уравнение 1: а * q^3 - а * q = 30 Вынесем общий множитель "а": а * (q^3 - q) = 30

Уравнение 2: а * q^3 - а * q^2 = 24 Вынесем общий множитель "а": а * (q^3 - q^2) = 24

Теперь разделим уравнение 1 на уравнение 2:

(а * (q^3 - q)) / (а * (q^3 - q^2)) = 30 / 24

Упростим уравнение, убрав общий множитель "а" и сократив дробь:

(q^3 - q) / (q^3 - q^2) = 5 / 4

Теперь заметим, что числитель и знаменатель дроби содержат общий множитель "q", поэтому мы можем упростить еще дальше:

q * (q^2 - 1) / (q^2 - 1) = 5 / 4

Теперь сократим (q^2 - 1) с обеих сторон:

q = 5 / 4

Теперь, когда мы знаем значение "q", мы можем найти значение "а" из первого уравнения:

а * (5/4)^3 - а * (5/4) = 30

Рассчитаем:

а * (125/64) - а * (5/4) = 30

Теперь сгруппируем "а" и упростим уравнение:

а * (125/64 - 5/4) = 30

а * (125/64 - 80/64) = 30

а * (45/64) = 30

Теперь найдем значение "а":

а = 30 / (45/64)

а = 30 * (64/45)

а ≈ 42.67

Теперь, когда у нас есть значения "а" и "q", мы можем найти пятый член прогрессии:

5-й член: а * q^4

Подставим значения "а" и "q":

5-й член: 42.67 * (5/4)^4

5-й член: 42.67 * (625/256)

5-й член: 42.67 * 2.44140625

5-й член ≈ 104.04

Итак, пятый член геометрической прогрессии приближенно равен 104.04.