Question

Безумно срочно,пожалуйста Найдите все значения параметра a, при которых уравнение (a+1)x^2+2(a+1)x+a−2=0 имеет два различных отрицательныхкорня

Answer 1

Поделим уравнение на (a+1), получим: $x^2+2x+\frac{a-2}{a+1}=0\Leftrightarrow x^2+2x+\frac{a+1-3}{a+1}=0\Leftrightarrow x^2+2x+1-\frac{3}{a+1}=0$; Свернем в квадрат суммы: $(x+1)^2=\frac{3}{a+1}\Leftrightarrow x=-1\pm \sqrt{\frac{3}{a+1} }$; Отсюда, из условия отрицательности и различности обоих корней: $\left \{ {{-1+\sqrt{\frac{3}{a+1}}$ и a≠-1 (при a=-1 у нас нет корней).

Решая неравенства, получаем: $\left \{ {{x\in(2,\;+\infty)} \atop {x\in(-1,\; +\infty)}} \right.\Leftrightarrow x\in (2,\; +\infty)$

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело два различных отрицательных корня, дискриминант должен быть положительным. Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В данном уравнении у нас a+1 коэффициент перед x^2, 2(a+1) перед x и a−2 свободный член.

Для двух различных отрицательных корней дискриминант D > 0, а также оба корня должны быть отрицательными. То есть:

1. D > 0
2. Корень x1 < 0
3. Корень x2 < 0

Итак, давайте рассмотрим условия:

1. D > 0: D = (2(a+1))^2 - 4(a+1)(a-2) D = 4(a^2 + 2a + 1) - 4(a^2 - 2a - 2) D = 4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 + 8a + 8 D = 16a + 12 Теперь условие D > 0: 16a + 12 > 0 16a > -12 a > -12/16 a > -3/4

2. Корень x1 < 0: Первый корень определяется формулой: x1 = (-b + √D) / (2a) x1 = (-(2(a+1)) + √(16a + 12)) / 2(a+1) x1 = (-(2a+2) + √(16a + 12)) / 2(a+1) x1 = (-2(a+1) + 2√(4a + 3)) / 2(a+1) x1 = -1 + √(4a + 3) Для того чтобы x1 был отрицательным, необходимо и достаточно, чтобы -1 + √(4a + 3) < 0

3. Корень x2 < 0: Второй корень определяется формулой: x2 = (-b - √D) / (2a) x2 = (-(2(a+1)) - √(16a + 12)) / 2(a+1) x2 = (-(2a+2) - √(16a + 12)) / 2(a+1) x2 = (-2(a+1) - 2√(4a + 3)) / 2(a+1) x2 = -1 - √(4a + 3) Для того чтобы x2 был отрицательным, необходимо и достаточно, чтобы -1 - √(4a + 3) < 0

Теперь объединим условия (2) и (3) и решим неравенство:

-1 + √(4a + 3) < 0 и -1 - √(4a + 3) < 0

1. -1 + √(4a + 3) < 0: √(4a + 3) > 1 4a + 3 > 1 4a > -2 a > -1/2

2. -1 - √(4a + 3) < 0: -√(4a + 3) < 1 4a + 3 > 1 4a > -2 a > -1/2

Таким образом, получаем, что a > -3/4 и a > -1/2. Объединяя эти условия, мы получаем окончательное условие:

a > -1/2

Итак, уравнение имеет два различных отрицательных корня при значениях параметра a, удовлетворяющих неравенству a > -1/2.