Question

F (x) = cos x + 3^x знайти первісну

Answer 1

$F(x)=\displaystyle \int(\cos x+3^x)dx=\int \cos x dx+\int 3^xdx=\sin x+\dfrac{3^x}{\ln 3}+C$

Answer 2

Для того, щоб знайти первісну функції F(x) = cos(x) + 3^x, потрібно знайти функцію F(x), таку, що похідна цієї функції дорівнює F(x).

Спростимо завдання, знаючи, що похідна від синуса та експоненти мають наступний вигляд:

d/dx (sin(x)) = cos(x) d/dx (e^x) = e^x

Таким чином, визначимо первісну для кожного доданку окремо:

Перший доданок: ∫ cos(x) dx = sin(x) + C1, де C1 - це довільна стала.

Другий доданок: ∫ 3^x dx. Для цього зробимо підстановку, щоб привести функцію до зрозумілішого вигляду:

Проведемо підстановку: Позначимо u = 3^x, тоді du/dx = d/dx(3^x) = 3^x * ln(3)

Тепер ми можемо знайти dx: dx = du / (3^x * ln(3))

Підставимо dx та u у вираз ∫ 3^x dx: ∫ 3^x dx = ∫ u * (1 / (3^x * ln(3))) du = (1 / ln(3)) ∫ (u / 3^x) du

Тепер проінтегруємо останній вираз ∫ (u / 3^x) du: ∫ (u / 3^x) du = (1 / ln(3)) * ∫ u du = (1 / ln(3)) * (u^2 / 2) + C2, де C2 - це ще одна довільна стала.

Тепер, коли маємо первісні для обох доданків, складемо їх разом:

F(x) = ∫ (cos(x) + 3^x) dx = sin(x) + (1 / ln(3)) * (3^x)^2 / 2 + C,

де C = C1 + C2 - загальна стала інтегрування.

Отже, первісна функції F(x) = cos(x) + 3^x буде:

F(x) = sin(x) + (1 / ln(3)) * 3^(2x) / 2 + C.