Question

На доске написаны числа 16,9,30. Разрешается стирать пару чисел a,b, и записывать вместо неё на доску числа 2a-b и 2b-a. Можно ли такими операциями получить на доске числа 23,10,25. Даю 25 баллов

Answer 1

Заметим, что операция не меняет сумму чисел на доске. И правда: пусть есть числа а, в, с. Начальная сумма S1=a+b+c. Сумма после преобразования S2=2a-b+2b-a+c=a+b+c=S1.

С другой стороны суммы на доске до и после всех преобразований не совпадают: 16+9+30=55≠58=23+10+25

А значит такими операциями это сделать нельзя.

Answer 2

Давайте посмотрим, можно ли получить числа 23, 10 и 25 из исходных чисел 16, 9 и 30 с помощью описанных операций.

Исходные числа: 16, 9, 30 Целевые числа: 23, 10, 25

1. Рассмотрим попарные комбинации исходных чисел с операциями:

   • 2 * 16 - 9 = 23
   • 2 * 9 - 16 = 2
   • 2 * 30 - 16 = 44

2. Используем число 23 вместо 16:

   • 2 * 23 - 9 = 37
   • 2 * 9 - 23 = -5 (отрицательное число, которое недопустимо на доске)

3. Возращаемся к исходным числам и пробуем другие комбинации:

   • 2 * 16 - 30 = 2
   • 2 * 30 - 16 = 44

4. Используем число 10 вместо 16:

   • 2 * 10 - 30 = -10 (отрицательное число, которое недопустимо на доске)

5. Возращаемся к исходным числам и пробуем другие комбинации:

   • 2 * 16 - 9 = 23
   • 2 * 9 - 16 = 2
   • 2 * 30 - 9 = 51

6. Используем число 23 вместо 30:

   • 2 * 16 - 9 = 23
   • 2 * 9 - 16 = 2
   • 2 * 23 - 9 = 37
   • 2 * 9 - 23 = -5 (отрицательное число, которое недопустимо на доске)

Таким образом, невозможно получить все три целевых числа 23, 10 и 25, используя описанные операции с исходными числами 16, 9 и 30. Получить удалось только 23 и 10.