Question

У филателиста Васи большое количество марок Однаы он решил разместить их в большом альбоме, состоящем из 1000 страниц так, чтобы на всех заполненных страницах марок было поровну (какие-то страницы в конце альбома могут остаться пустыми). Но когда Боря попробовал раскладывать по 7 марок на странице, то у него 5 марок осталось (но не все страницы были заполнены) тогда он стал раскладывать сначала по 11 марок на странице, затем - по 13 марок на странице Но снова у него оба раза осталось 5 марок Наконец, когда Боря решил разложить по 23 марки на странице, то на этот раз у него осталась бмарок. Сколько марок в коу ч у Васи?

Answer 1

Ответ:

2007

Пошаговое объяснение:

Пусть у Васи х марок.

Согласно условию х – 5 делится на 7, на 11 и на 13.

Следовательно, поскольку 7,11 и 13 – простые числа,

то х – 5 делится на их произведение, т. е. на 7 • 11 • 13 = 1001.

Поэтому х – 5 = 1001k для некоторого натурального k, откуда х = 1001k +5 .

Далее, согласно условию х – 6 делится на 23.

Поэтому х – 6 = 23m для некоторого натурального m.

В результате, получим 1001k – 1 =23m.

Остается только найти натуральные k и m, удовлетворяющие этому равенству.

При этом, поскольку согласно условию

х/7<1000 и, значит, х<7000,

то достаточно рассмотреть k = 1,2,..., 6.

Нетрудно убедиться, что только при k = 2

из уравнения получится натуральное значение m = 87.

Поэтому находим единственное значение х = 1001•2 + 5 = 2007.

Answer 2

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть x - общее количество марок у Васи.

1. Когда Вася пытался разложить марки по 7 на странице, у него осталось 5 марок. Это означает, что общее количество марок (x) должно быть на 5 больше некоторого числа, которое делится нацело на 7. Можно записать это как:

x ≡ 5 (mod 7)

2. Затем Вася попытался разложить марки по 11 на странице, и снова у него осталось 5 марок. Аналогично, это означает:

x ≡ 5 (mod 11)

3. При разложении марок по 13 на странице Васе также осталось 5 марок:

x ≡ 5 (mod 13)

4. Наконец, Вася попытался разложить марки по 23 на странице, и на этот раз осталось b марок:

x ≡ b (mod 23)

Мы хотим найти значение x, которое удовлетворяет всем этим условиям.

Мы можем решить эту систему сравнений, используя китайскую теорему об остатках или пробный и ошибочный метод.

Поочередно пробуем значения для b, начиная с 0 и увеличивая на 23, пока не найдем значение, которое удовлетворяет всем трем остаткам:

При b = 0: x ≡ 0 (mod 23) x ≡ 5 (mod 7) x ≡ 5 (mod 11)

При b = 23: x ≡ 23 (mod 23) x ≡ 5 (mod 7) x ≡ 5 (mod 11)

При b = 46: x ≡ 46 (mod 23) x ≡ 5 (mod 7) x ≡ 5 (mod 11)

Продолжаем этот процесс и в итоге найдем значение, которое удовлетворяет всем трем остаткам:

При b = 182: x ≡ 182 (mod 23) x ≡ 5 (mod 7) x ≡ 5 (mod 11)

Таким образом, у Васи должно быть 182 марки.