Question

Решить методом математический индукции 2+6+10...+2(2n-1)=2n^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного равенства методом математической индукции, нам нужно доказать его для базового случая и затем показать, что если оно верно для некоторого n, то оно будет верно и для n+1.

Шаг 1: Проверка базового случая. Для n = 1: Левая сторона равенства: 2(21 - 1) = 2(2-1) = 2 Правая сторона равенства: 21^2 = 2 Левая и правая стороны равны для n = 1, поэтому базовый случай выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что равенство верно для некоторого k, где k - натуральное число, т.е. 2 + 6 + 10 + ... + 2(2k-1) = 2k^2

Шаг 3: Доказательство для n = k+1. Мы хотим доказать, что равенство выполняется и для n = k+1, т.е. 2 + 6 + 10 + ... + 2(2(k+1)-1) = 2(k+1)^2

По предположению индукции, у нас есть: 2 + 6 + 10 + ... + 2(2k-1) = 2k^2

Добавим следующий член ряда (для n = k+1): 2(2(k+1)-1) = 2(2k + 2 - 1) = 2(2k + 1) = 4k + 2

Теперь добавим это выражение к сумме, предположив, что равенство выполняется для k: 2 + 6 + 10 + ... + 2(2k-1) + 2(2(k+1)-1) = 2k^2 + (4k + 2)

Теперь упростим правую сторону: 2k^2 + (4k + 2) = 2k^2 + 4k + 2

Теперь давайте посмотрим на правую сторону выражения для n = k+1: 2(k+1)^2 = 2(k^2 + 2k + 1) = 2k^2 + 4k + 2

Как видим, правая сторона выражения совпадает с тем, что мы получили в предыдущем шаге, когда добавили следующий член ряда. Таким образом, мы доказали, что если равенство выполняется для k, то оно выполняется и для k+1.

Поэтому, равенство 2 + 6 + 10 + ... + 2(2n-1) = 2n^2 верно для всех натуральных чисел n методом математической индукции.