Question

У квадратного трехчлена P(x) = ax^2+ bx + c известна сумма коэффициентов a + b + c = 2. Чему равна сумма коэффициентов а) многочлена 4-й степени (P(x))^2 (После возведения в квадрат и приведения подобных членов)? б) многочлена 20-й степени (P(x))^10 ?

Answer 1

Заметим, что a + b + c = 2 - остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x-1). Следовательно,

$a)~(P(x))^2=(P(1))^2=(a+b+c)^2=2^2=4\\ \\ b)~(P(x))^{20}=(P(1))^{20}=(a+b+c)^{20}=2^{20}$

Answer 2

Дано, что сумма коэффициентов исходного квадратного трехчлена P(x) равна 2: a + b + c = 2.

а) Чтобы найти сумму коэффициентов многочлена 4-й степени (P(x))^2, нужно возвести исходный квадратный трехчлен в квадрат и привести подобные члены. Поскольку исходный квадратный трехчлен имеет степень 2, то (P(x))^2 будет иметь степень 4. Сумма коэффициентов полученного многочлена будет равна коэффициенту перед членом степени 4. Другими словами, мы должны найти значение a^2.

Известно, что a + b + c = 2. Мы можем представить это уравнение в виде a = 2 - b - c и подставить в исходный квадратный трехчлен: P(x) = (2 - b - c)x^2 + bx + c.

Теперь возводим P(x) в квадрат: (P(x))^2 = [(2 - b - c)x^2 + bx + c]^2.

Раскрываем квадрат: (P(x))^2 = (2 - b - c)^2x^4 + 2(2 - b - c)(bx + c)x^2 + (bx + c)^2.

Сумма коэффициентов полученного многочлена будет равна коэффициенту перед x^4: Сумма коэффициентов = (2 - b - c)^2.

б) Аналогично, чтобы найти сумму коэффициентов многочлена 20-й степени (P(x))^10, нужно возвести исходный квадратный трехчлен в 20-ю степень и привести подобные члены. Сумма коэффициентов полученного многочлена будет равна коэффициенту перед членом степени 20. То есть, нам нужно найти значение a^10.

Сумма коэффициентов = (2 - b - c)^10.

Таким образом, сумма коэффициентов для многочлена 4-й степени (P(x))^2 равна (2 - b - c)^2, а сумма коэффициентов для многочлена 20-й степени (P(x))^10 равна (2 - b - c)^10.