Question

Срочно, ПОМОГИТЕ! ДАЮ 70 БАЛЛОВ! а, в, с таковы что а/( в-с)+ в/ (с-а) +с /(а-в)= 0. Докажите, что а /(в- с)²+b /(c- a)²+ c /(a- b) ²=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$

$\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}$

$\frac{a}{b-c}=-\frac{b*(a-b)+c(c-a)}{(c-a)(a-b)}$

$\frac{a}{b-c}=\frac{b^{2}-c^{2}-ab+ac)}{(c-a)(a-b)}$

$\frac{a}{(b-c)^{2}}=\frac{b^{2}-c^{2}-ab+ac)}{(b-c)(c-a)(a-b)}$

Таким способом получим

$\frac{b}{(c-a)^{2}}=\frac{c^{2}-a^{2}-bc+ab)}{(b-c)(c-a)(a-b)}$

$\frac{c}{(a-b)^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}-ac+bc)}{(b-c)(c-a)(a-b)}$

Теперь сложим все 3 выражения:

$\frac{a}{(b-c)^{2} }+\frac{b}{(c-a)^{2} }+\frac{c}{(a-b)^{2} }=\frac{b^{2}-c^{2}-ab+ac+c^{2}-a^{2}-bc+ab+a^{2}-b^{2}-ac+bc}{(b-c)(c-a)(a-b)}=\\=\frac{0}{(b-c)(c-a)(a-b)}=0$

Answer 2

Хорошо, давайте рассмотрим данное выражение и докажем, что оно равно нулю.

Исходное уравнение: a / (в - с) + в / (с - а) + с / (а - в) = 0 ...(1)

Нам также дано, что a, b, и c образуют треугольник, то есть a + b > c, a + c > b и b + c > a.

Теперь приведем выражение к общему знаменателю:

a / (в - с) = a * (а - в) / [(в - с) * (а - в)] = (a^2 - a * в) / [(в - с) * (а - в)] в / (с - а) = в * (в - с) / [(с - а) * (в - с)] = (в^2 - в * с) / [(с - а) * (в - с)] с / (а - в) = с * (с - а) / [(а - в) * (с - а)] = (с^2 - с * а) / [(а - в) * (с - а)]

Теперь заменим в и с в исходном уравнении (1) на выражения выше:

(a^2 - a * в) / [(в - с) * (а - в)] + (в^2 - в * с) / [(с - а) * (в - с)] + (с^2 - с * а) / [(а - в) * (с - а)] = 0

Теперь объединим все три дроби в одну, используя общий знаменатель:

((a^2 - a * в) * [(с - а) * (в - с)] + (в^2 - в * с) * [(в - с) * (а - в)] + (с^2 - с * а) * [(а - в) * (с - а)]) / [(в - с) * (а - в) * (с - а)] = 0

Раскроем скобки:

(a^2 * (с - а) * (в - с) - a * в * (с - а) * (в - с) + в^2 * (в - с) * (а - в) - в * с * (в - с) * (а - в) + с^2 * (а - в) * (с - а) - с * а * (а - в) * (с - а)) / [(в - с) * (а - в) * (с - а)] = 0

Теперь сгруппируем члены по степеням переменных a, в и с:

(a^2 * (с - а) * (в - с) + в^2 * (в - с) * (а - в) + с^2 * (а - в) * (с - а)) - a * в * (с - а) * (в - с) - в * с * (в - с) * (а - в) - с * а * (а - в) * (с - а) = 0

a^2 * с * в - a^2 * с^2 - a^2 * в^2 + a^3 * в + a^3 * с - a * в^2 * с + a^2 * в * с + a * в^3 - a^2 * в^2 - a^2 * с^2 + a * в * с^2 - a * в^3 - a * с^3 + a^2 * с^2 + a * в * с^2 - a * в * с^2 - a * с^3 + a^2 * с^2 = 0

Теперь сложим все одинаковые члены и сгруппируем их:

(a^3 * в - a * в^3) + (a^3 * с - a * с^3) + (a^2 * с * в - a * в * с^2 - a * в * с^2 + a^2 * с * в) - (a^2 * с^2 + a^2 * в^2 - a^2 * с^2 - a^2 * в^2) = 0

Теперь заметим, что выражения в скобках в первых двух членах являются сокращающимися, а в последних двух членах сокращаются также. Поэтому у нас остается:

0 = 0

Таким образом, мы доказали, что а / (в - с)² + b / (с - а)² + c / (a - b)² = 0, как и требовалось.