Question

Треугольник с длинами сторон 3, 5 и 7 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на n равных треугольников, длина хотя бы одной из сторон которых – целое число. Найти наибольшее возможное значение числа n .

Answer 1

Ответ:

17 вроде. Либо 16. Как то так

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится некоторая теория.

Давайте рассмотрим исходный треугольник с длинами сторон 3, 5 и 7. Пусть треугольник разбивается на n равных треугольников параллельными его сторонам прямыми. Обозначим через m число треугольников по горизонтали и через k число треугольников по вертикали (см. рисунок ниже для наглядности).

cssCopy code
      /|\   <- вершина A
     / | \
  3 /  |  \ 7
   /   |   \
  /____|____\   <- вершина B
      5

Какое условие должны удовлетворять m и k, чтобы длина хотя бы одной стороны треугольника была целым числом? Чтобы длина стороны была целым числом, длина основания и высота должны быть кратными n. То есть, длина основания (AB) равна 5m, а высота (BC) равна 3 + 7k.

Таким образом, чтобы длина стороны была целым числом, 5m и 3 + 7k должны иметь общий делитель больше единицы.

Наибольший общий делитель (НОД) для 5 и 3 + 7k будет равен единице, если 3 + 7k не делится на 5.

3 + 7k делится на 5, если 7k делится на 5, что верно только при k = 5 * t (где t - целое число).

Таким образом, максимальное значение k, при котором условие выполняется, будет равно 5.

Теперь найдем максимальное значение m. Мы знаем, что 5m и 3 + 7k должны иметь общий делитель больше единицы. При максимальном значении k = 5, у нас есть 3 + 7 * 5 = 38.

Теперь находим наибольший общий делитель для 5 и 38: НОД(5, 38) = 1.

Таким образом, максимальное значение m будет равно 1.

Итак, максимальное возможное значение n будет равно произведению максимальных значений m и k:

n = m * k = 1 * 5 = 5.

Ответ: наибольшее возможное значение n равно 5.