Question

Исследовать экстремум функцию: z=x^3+xy^2+6xy

Answer 1

Алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум

Функция z = f(x,y) имеет максимум в точке M0(x0;y0), если f(x0;y0) > f(x;y) для всех точек (x;y), достаточно близких к точке (x0;y0) и отличных от неё. Функция z = f(x,y) имеет минимум в точке M0(x0;y0), если f(x0;y0) < f(x;y) для всех точек (x;y), достаточно близких к точке (x0;y0) и отличных от неё. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Исследование функции двух переменных на экстремум проводят по следующей схеме.
1. Находят частные производные dz/dx и dz/dy.

Answer 2

Для исследования экстремумов функции z = x^3 + xy^2 + 6xy по переменным x и y, нужно найти производные по обеим переменным и решить систему уравнений, приравняв производные к нулю.

Шаг 1: Найдем частные производные по x и y: ∂z/∂x = 3x^2 + y^2 + 6y ∂z/∂y = 2xy + 6x

Шаг 2: Приравняем обе производные к нулю и решим систему уравнений: 3x^2 + y^2 + 6y = 0 ........ (1) 2xy + 6x = 0 ........ (2)

Шаг 3: Решим уравнение (2) относительно y: 2xy + 6x = 0 2x(y + 3) = 0

Отсюда получаем два варианта:

1. x = 0
2. y + 3 = 0 => y = -3

Шаг 4: Подставим значения x и y в уравнение (1) для нахождения соответствующих значения z:

1. x = 0: 3(0)^2 + y^2 + 6y = y^2 + 6y

2. x ≠ 0, y = -3: 3x^2 + (-3)^2 + 6(-3) = 3x^2 + 9 - 18 = 3x^2 - 9

Шаг 5: Определим характер экстремумов:

Для x = 0: z = y^2 + 6y

Для x ≠ 0, y = -3: z = 3x^2 - 9

Теперь рассмотрим пределы нашей функции z при стремлении переменных к бесконечности. Если пределы неограничены, то функция не имеет экстремумов.

Пределы: lim(x→±∞) z = ±∞ lim(y→±∞) z = ±∞

Таким образом, у функции нет ограниченных экстремумов.

Важно заметить, что этот анализ охватывает только стационарные точки (точки, в которых частные производные равны нулю). Однако, функция также может иметь экстремумы на границе области определения, которые могут быть найдены дополнительным исследованием.