Question

На оси OZ найти точку, равноудаленную от точки А (2; 3; 4) и от плоскости, проходящей через точку B (1; 5; 0) параллельно плоскости 2x+3y+z+15=0

Answer 1

Находим уравнение  плоскости, проходящей через точку B (1; 5; 0) параллельно плоскости  2x + 3y + z + 15 = 0.

2(x - 1) + 3(y - 5) +1(z - 0) = 2x - 2 + 3y - 15 + z =  2x + 3y + z - 17.

Теперь примем точку M на оси Оz с координатами (0; 0; z) и определяем расстояния от неё до новой плоскости (2x + 3y + z - 17) и точки А (2; 3; 4).

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0  используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²).  

Так как Мх и Му равны 0, а модуль нормали плоскости равен √(4+9+1) = √14, то это расстояние можно выразить так:

d = (1*Mz - 17)/√14.

Теперь определим расстояние между точками А и М.

АМ = √((0 - 2)² + (0 - 3)² + (Мz - 4)²) = √(13 + (Мz - 4)²).

Приравняем эти расстояния:  (1*Mz - 17)/√14 = √(13 + (Мz - 4)²).

Возводим в квадрат обе части уравнения.

(Mz² - 34Mz + 289)/14 = 13 + Мz² - 8Mz + 16.

Получаем квадратное уравнение 13Мz² - 78Mz + 117 = 0.

Ищем дискриминант:

D=(-78)^2-4*13*117=6084-4*13*117=6084-52*117=6084-6084=0;  

Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:

Mz = -(-78/(2*13)) = -(-78/26) = -(-3) = 3.

Ответ: точка имеет координаты (0; 0; 3).

Answer 2

Для нахождения точки, равноудаленной от точки A(2; 3; 4) и от плоскости, параллельной плоскости 2x+3y+z+15=0, мы можем воспользоваться формулой для нахождения расстояния между точкой и плоскостью.

Расстояние между точкой P(x0; y0; z0) и плоскостью Ax + By + Cz + D = 0 равно:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

Для плоскости 2x + 3y + z + 15 = 0, у нас следующие значения: A = 2, B = 3, C = 1 и D = 15.

Шаг 1: Найдем расстояние между точкой A(2; 3; 4) и плоскостью.

d = |22 + 33 + 1*4 + 15| / √(2^2 + 3^2 + 1^2) d = |4 + 9 + 4 + 15| / √(4 + 9 + 1) d = |32| / √14 d ≈ 32 / 3.7417 d ≈ 8.556

Шаг 2: Теперь мы ищем точку, равноудаленную от точки A(2; 3; 4) и от плоскости 2x + 3y + z + 15 = 0. Давайте обозначим эту точку как P(x; y; z).

Так как P равноудалена от A и от плоскости, расстояние от P до A будет также равно 8.556.

Используем формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

d = √((x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2)

Подставим известные значения:

8.556 = √((x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2)

Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

8.556^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2

73.286736 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2

Шаг 3: Теперь нам нужно найти точку P(x; y; z), которая удовлетворяет уравнению 73.286736 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2.

Однако у нас здесь есть проблема: у нас не дана никакая дополнительная информация или условие, чтобы однозначно определить координаты точки P. Таким образом, у нас бесконечное количество точек, которые удовлетворяют этому уравнению.

Мы можем выбрать какую-то координату (например, x, y или z) и присвоить ей значение, а затем выразить остальные координаты через эту выбранную. Например, предположим, что x = 0:

73.286736 = (0 - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2

73.286736 = 4 + (y - 3)^2 + (z - 4)^2

(y - 3)^2 + (z - 4)^2 = 69.286736

Это уравнение определяет окружность в плоскости yz с центром в точке (0, 3, 4) и радиусом √69.286736.

Таким образом, точка P(x; y; z) будет находиться на этой окружности в пространстве и может иметь различные координаты, удовлетворяющие уравнению. Без дополнительных условий или ограничений, мы не можем однозначно определить координаты точки P.