Question

Найдите сумму: 1/1+√2 + 1/√2+√3 + . . . + 1/√2001+√2002

Answer 1

$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2001}+\sqrt{2002}}=\dfrac{1-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}+\\ \\ \\ +\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}+...+\dfrac{\sqrt{2001}-\sqrt{2002}}{(\sqrt{2001}+\sqrt{2002})(\sqrt{2001}-\sqrt{2002})}=\\ \\ \\ =\dfrac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+...+\dfrac{\sqrt{2001}-\sqrt{2002}}{2001-2002}=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\\ \\ \\ -...-\sqrt{2001}+\sqrt{2002}=-1+\sqrt{2002}$

Answer 2

Для нахождения суммы данного ряда, мы можем использовать технику телескопического сокращения. Воспользуемся следующим наблюдением:

1/(√n + √(n+1)) - 1/(√(n+1) + √(n+2)) = (√(n+1) - √n) / ((√n + √(n+1)) * (√(n+1) + √(n+2)))

Обратите внимание, что (√(n+1) - √n) сокращается в числителе и знаменателе.

Применим это наблюдение к каждому слагаемому ряда:

1/(1 + √2) - 1/(√2 + √3) + 1/(√2 + √3) - 1/(√3 + √4) + ... + 1/(√2001 + √2002)

Заметим, что все слагаемые от второго до предпоследнего сокращаются. Остаются только первое и последнее слагаемые:

1/(1 + √2) - 1/(√2001 + √2002)

Теперь найдем общий знаменатель для этих двух слагаемых, умножив числитель и знаменатель первого слагаемого на (√2001 - √2002), а числитель и знаменатель второго слагаемого на (√2 + √1):

[(√2001 - √2002)/(√2001 - √2002)] * [1/(1 + √2) - 1/(√2001 + √2002)]

= [√2001 - √2002 - (√2 - √1)] / [(√2001 - √2002)(1 + √2) - (√2 - √1)(√2001 + √2002)]

= [√2001 - √2002 - √2 + √1] / [√2001 + √2 - √2002 - √1 + √2001√2 - √2002√2 + √2 - √1]

= (√2001 - √2002 - √2 + √1) / (√2001 - √2002 + √2 - √1)

Теперь мы можем использовать свойство сопряженных значений для упрощения дроби:

(√2001 - √2002 - √2 + √1) / (√2001 - √2002 + √2 - √1)

= [(√2001 - √2002) - (√2 - √1)] / [(√2001 - √2002) + (√2 - √1)]

= 1

Таким образом, сумма ряда равна 1.