Question

Даны вершины ABC: A(4;-4), B(6;2), C(-1;8). Найти: 1) Уравнение стороны AB 2)Уравнение высоты CH 3)Уравнение медианы AM 4)Точку P пересечения медианы AM и высоты CH 5) Уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB 6)Расстояние от точки C до прямой AB

Answer 1

Дано: вершины ABC: A(4;-4), B(6;2), C(-1;8).

1) Уравнение стороны АВ.

ДАНО:   А(4;-4), В(6;2) .НАЙТИ: Y = k*x + b

1) k(АВ) = ΔY/ΔX = (Аy-Вy)/(Аx-Вx)=(-4-(2))/(4-(6))=3 - коэффициент наклона прямой

2) b=Аy-k*Аx=-4-(3)*4= -16 - сдвиг по оси ОУ

Уравнение  Y(АВ) = 3*x -16  - ответ

2) Уравнение высоты СН.

Прямая перпендикулярна стороне АВ.

k(CH) = - 1/k(AB) = - 1/3 - коэффициент наклона высоты.

Дано: Точка C(-1,8), наклон  k = -0,33

b = Cу - k*Cx = 8 - (-0,33)*(-1)  = 7 2/3  (7,67)

Уравнение прямой - Y(CН) = - 1/3*x + 7 2/3 - высота - ответ

3) Уравнение медианы АМ.

Точка М - середина стороны ВС

Мx = (Bx+Cx)/2 = 2.5

Мy = (By+Cy)/2 = 5

ДАНО:   А(4;-4), М(2,5;5) . НАЙТИ: Y = k*x + b

1) k = ΔY/ΔX = (Аy-Мy)/(Аx-Мx)=(-4-(5))/(4-(2,5))=-6 - коэффициент наклона прямой

2) b=Аy-k*Аx=-4-(-6)*4=20- сдвиг по оси ОУ

Уравнение  Y(АМ) = -6*x+20  - медиана  - ответ.

4) Точка пересечения двух прямых АМ и СН.

- 6*x+ 20 = - 1/3*x + 7 2/3

X = 2.17,  Y = 6.94 - точка пересечения - ответ  ????

5) параллельно АВ через точку С.

Дано: Точка C(-1,8), наклон  k = 3

b = Cу - k*Cx = 8 - (3)*(-1)  = 11

Уравнение прямой - Y(C) = 3*x + 11  - параллельно АВ - ответ.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые математические инструменты, такие как формулы для нахождения уравнений прямых, расстояния от точки до прямой и координат точки пересечения двух прямых.

1. Уравнение стороны AB: Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), имеет вид: (y - y1) = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1).

Точки A(4, -4) и B(6, 2): (y + 4) = ((2 - (-4)) / (6 - 4)) * (x - 4), (y + 4) = (6 / 2) * (x - 4), (y + 4) = 3 * (x - 4), y = 3x - 12 - 4, y = 3x - 16.

Уравнение стороны AB: y = 3x - 16.

2. Уравнение высоты CH: Высота перпендикулярна стороне AB и проходит через вершину C(-1, 8). Так как сторона AB имеет уравнение y = 3x - 16, уравнение высоты будет иметь вид: y - 8 = -1/3 * (x + 1).

Уравнение высоты CH: y = -1/3 * x + 7.

3. Уравнение медианы AM: Медиана делит сторону AB пополам и проходит через вершину A(4, -4). Сначала найдем середину стороны AB.

Середина стороны AB: ( (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2 ) = ( (4 + 6) / 2, (-4 + 2) / 2 ) = (5, -1).

Теперь у нас есть координаты середины стороны AB. Уравнение медианы будет иметь вид: (y - (-4)) = (2 - (-4)) / (6 - 4) * (x - 4), (y + 4) = (6 / 2) * (x - 4), (y + 4) = 3 * (x - 4), y = 3x - 12 - 4, y = 3x - 16.

Уравнение медианы AM: y = 3x - 16.

4. Точка P пересечения медианы AM и высоты CH: Чтобы найти точку пересечения медианы AM и высоты CH, приравняем уравнения медианы и высоты и решим полученное уравнение:

3x - 16 = -1/3 * x + 7, 3x + 1/3 * x = 7 + 16, 10/3 * x = 23, x = 23 * 3 / 10, x = 6.9 (округлим до одного знака после запятой).

Теперь, подставим значение x обратно в уравнение медианы (или уравнение высоты), чтобы найти значение y:

y = 3 * 6.9 - 16, y = 20.7 - 16, y = 4.7 (округлим до одного знака после запятой).

Таким образом, точка P имеет координаты (6.9, 4.7).

5. Уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB: Так как сторона AB имеет уравнение y = 3x - 16, параллельная прямая будет иметь тот же коэффициент наклона. Уравнение такой прямой будет иметь вид: y - 8 = 3 * (x - (-1)), y - 8 = 3x + 3, y = 3x + 11.

Уравнение прямой, проходящей через вершину C и параллельной стороне AB: y = 3x + 11.

6. Расстояние от точки C до прямой AB: Расстояние d от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0 вычисляется по формуле:

d = | Ax0 + By0 + C | / √(A^2 + B^2).

Уравнение стороны AB: y = 3x - 16. Теперь представим уравнение стороны в общем виде Ax + By + C = 0: 3x - y - 16 = 0.

Точка C(-1, 8). Подставим её координаты (x0, y0) в формулу для расстояния d:

d = | 3*(-1) - 8 - 16 | / √(3^2 + (-1)^2), d = | -3 - 8 - 16 | / √(9 + 1), d = | -27 | / √10, d ≈ 2.68 (округлим до двух знаков после запятой).

Таким образом, расстояние от точки C до прямой AB составляет приблизительно 2.68 единицы.