Question

Пользуясь определением предела последовательности, доказать lim n/3^n = 0 n→∞

Answer 1

Заметим,  что при n больше 3  3^n  больше n^2 (например, по индукции). Тогда достаточно доказать , что 1/n стремится к 0, т.к. 1/n>n/3^n. Дальше, как требуется, по определению.

Для любого епсилон=eps больше 0 находим N, что для любого n больше N 1/n меньше eps. Достаточно, очевидно, взять N равное [1/eps]+1. Здесь -  [х]-целая часть от х.

Answer 2

Чтобы доказать, что предел последовательности $\lim_{{n \to \infty}} \frac{n}{3^n} = 0$, нужно воспользоваться определением предела и показать, что для произвольного положительного числа $\varepsilon > 0$ существует такое натуральное число $N$, что для всех $n > N$ выполняется неравенство $\left| \frac{n}{3^n} - 0 \right| < \varepsilon$.

Рассмотрим выражение $\frac{n}{3^n}$. При $n = 1$ значение этой последовательности равно $\frac{1}{3}$, при $n = 2$ - $\frac{2}{9}$, при $n = 3$ - $\frac{3}{27}$, и так далее. Можно заметить, что числитель $n$ растет линейно, а знаменатель $3^n$ растет экспоненциально с ростом $n$. В результате чем больше $n$, тем меньше будет значение $\frac{n}{3^n}$.

Давайте попробуем доказать это формально:

Для $\varepsilon > 0$ исследуем неравенство: $\left| \frac{n}{3^n} - 0 \right| < \varepsilon.$

Мы можем записать: $\frac{n}{3^n} < \varepsilon.$

Чтобы упростить это неравенство, домножим обе стороны на $3^n$: $n < \varepsilon \cdot 3^n.$

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон неравенства: $\ln(n) < \ln(\varepsilon \cdot 3^n).$

Воспользуемся свойством логарифма $\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$: $\ln(n) < \ln(\varepsilon) + \ln(3^n).$

Также, можно использовать свойство $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$: $\ln(n) < \ln(\varepsilon) + n \cdot \ln(3).$

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон неравенства (экспонента и логарифм являются обратными функциями): $e^{\ln(n)} < e^{\ln(\varepsilon) + n \cdot \ln(3)}.$

$n < e^{\ln(\varepsilon)} \cdot e^{n \cdot \ln(3)}.$

$n < \varepsilon \cdot e^{n \cdot \ln(3)}.$

Теперь, если мы выберем $N$, чтобы быть больше $\frac{1}{\varepsilon}$, то для всех $n > N$ выполняется условие: $n < \varepsilon \cdot e^{n \cdot \ln(3)}.$

Так как экспонента $e^{n \cdot \ln(3)}$ растет экспоненциально с ростом $n$, а $\varepsilon$ - фиксированное положительное число, то можно выбрать $N$, чтобы $e^{N \cdot \ln(3)}$ стало сколь угодно большим. Таким образом, существует $N$, начиная с которого $n$ будет меньше, чем $\varepsilon \cdot e^{n \cdot \ln(3)}$, что эквивалентно $\frac{n}{3^n} < \varepsilon$. Это завершает доказательство.

Таким образом, мы показали, что для произвольного положительного числа $\varepsilon > 0$ существует такое натуральное число $N$, что для всех $n > N$ выполняется неравенство $\left| \frac{n}{3^n} - 0 \right| < \varepsilon$ 0 0