Question

Докажите, что два числа имеют одни и те же остатки при делении на b только тогда, когда их разность делится на b

Answer 1

рассмотрим два числа, имеющие при делении на b остаток с

x = m*b + c

y = n*b + c

x - y = mb + c - nb  - c = b*(m - n)

полученное произведение делится на b, так как один из множителей делится на b

доказано

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением остатка при делении. Пусть у нас есть два числа a и c, которые имеют одинаковые остатки при делении на число b. Обозначим остатки этих чисел как r1 и r2 соответственно.

Тогда можно записать: a = kb + r1, c = lb + r2,

где k и l - целые числа, представляющие частное от деления a и c на b. Разность этих чисел будет:

a - c = (kb + r1) - (lb + r2) = (k - l)b + (r1 - r2).

Мы видим, что разность a - c также представляется в виде произведения целого числа на b, плюс разность остатков (r1 - r2).

Теперь докажем, что если a и c имеют одинаковые остатки при делении на b, то их разность a - c также делится на b.

Из предыдущего уравнения мы видим, что разность a - c представляется в виде (k - l)b + (r1 - r2). Поскольку r1 и r2 - это остатки при делении на b, то их разность (r1 - r2) также будет делиться на b. Следовательно, (k - l)b + (r1 - r2) делится на b.

Таким образом, мы доказали, что если два числа a и c имеют одинаковые остатки при делении на b, то их разность a - c также делится на b.

Обратное утверждение также верно: если разность двух чисел делится на b, то эти числа имеют одинаковые остатки при делении на b. Доказательство обратного утверждения следует из обратной логики доказательства, которое мы представили выше.

Таким образом, мы доказали, что два числа имеют одинаковые остатки при делении на b тогда и только тогда, когда их разность делится на b.