Question

Розкласти многочлен х^4+x^2+1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

х^4+x^2+1=(x^4+2x^2+1)-x^2=(x^2+1)^2-x^2=

(x^2+1-x)(x^2+1+x)

использована формула разности квадратов

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Answer 2

Для розкладу многочлена х^4 + x^2 + 1 спочатку перевіримо, чи може він розкластися на множники з цілими коефіцієнтами.

Ми можемо помітити, що цей многочлен не має цілих коренів, оскільки при підстановці будь-якого цілого числа в нього отримуємо вираз, який завжди буде більше або рівний 1.

Отже, нам потрібно розкласти його на непарні степені, щоб отримати розклад з комплексними коренями. Ми можемо скористатися наступним трюком: введемо нову змінну y = x^2. Тоді многочлен стає y^2 + y + 1.

Ми можемо застосувати формулу квадратного трикутника до цього квадратного трьохчлена. Знайдемо його корені y1 та y2:

y1,2 = (-1 ± √(1 - 4))/2 = (-1 ± √(-3))/2 = (-1 ± i√3)/2.

Тепер ми можемо підставити y1 та y2 замість y = x^2:

y1: x^2 = (-1 + i√3)/2 y2: x^2 = (-1 - i√3)/2

Щоб знайти значення x, візьмемо квадратний корінь обох частин:

x1: x = ±√((-1 + i√3)/2) x2: x = ±√((-1 - i√3)/2)

Таким чином, розклад многочлена х^4 + x^2 + 1 має вигляд:

х^4 + х^2 + 1 = (х - √((-1 + i√3)/2))(х + √((-1 + i√3)/2))(х - √((-1 - i√3)/2))(х + √((-1 - i√3)/2))

Це є розклад на непарні степені з комплексними коренями.