Question

Помогите 133^55+55^133+х=1 (mod8)

Answer 1

Ответ:

x = 5

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим степени 133 по модулю 8:

133¹ (mod 8) = 5  (mod 8)

133² (mod 8) = 5²  (mod 8) = 25 (mod 8) = 1  (mod 8)

Тогда 133²ⁿ⁺¹ (mod 8) = 133²ⁿ · 133 (mod 8) = 1 · 5 (mod 8) = 5 (mod 8) и поэтому 133⁵⁵ (mod 8) = 5  (mod 8)

Рассмотрим степени 55 по модулю 8:

55¹ (mod 8) = 7 (mod 8)

55² (mod 8) = 7²  (mod 8) = 49 (mod 8) = 1  (mod 8)

Тогда 55²ⁿ⁺¹ (mod 8) = 55²ⁿ · 55 (mod 8) = 1 · 7 (mod 8) = 7 (mod 8) и поэтому 55¹³³ (mod 8) = 7  (mod 8)

Теперь имеем

133⁵⁵ + 55¹³³ + x = 1 (mod 8)

5 + 7 + x = 1 (mod 8)

12 + x = 1 (mod 8)

4 + x = 1 (mod 8)

Отсюда , так как 4 + 5 = 1 (mod 8), то x = 5.  

Answer 2

Для решения данного уравнения (mod 8), мы можем рассмотреть остатки при делении каждого слагаемого на 8 и найти соответствующие остатки для значения х. Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

133^55 (mod 8): Найдем остатки от деления степени 133^55 на 8: 133^1 ≡ 5 (mod 8) 133^2 ≡ 1 (mod 8) 133^3 ≡ 5 (mod 8) 133^4 ≡ 1 (mod 8)

Остатки при делении степени 133^55 на 4 повторяются через каждые 2 степени. Таким образом: 133^55 ≡ 133^3 ≡ 5 (mod 8)

55^133 (mod 8): Аналогично, найдем остатки от деления степени 55^133 на 8: 55^1 ≡ 7 (mod 8) 55^2 ≡ 1 (mod 8) 55^3 ≡ 7 (mod 8) 55^4 ≡ 1 (mod 8)

Остатки при делении степени 55^133 на 4 также повторяются через каждые 2 степени: 55^133 ≡ 55^1 ≡ 7 (mod 8)

Теперь мы можем решить уравнение: 133^55 + 55^133 + х ≡ 5 + 7 + х ≡ 12 + х (mod 8)

Чтобы найти значение х (mod 8), мы должны найти остаток от деления 12 + х на 8, равный 1: (12 + х) ≡ 1 (mod 8)

Из этого уравнения мы можем вычесть 12 из обеих сторон: х ≡ 1 - 12 ≡ -11 (mod 8)

Теперь найдем эквивалент положительного остатка от деления -11 на 8: -11 ≡ -3 (mod 8)

Таким образом, значение х, удовлетворяющее уравнению 133^55 + 55^133 + х ≡ 1 (mod 8), равно -3 или, эквивалентно, 5 (mod 8).